Exercícios Resolvidos de Estabilidade de sistemas discretos

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Enunciado

Dado o sistema abaixo, encontra a faixa para o tempo de amostragem T que torna o sistema estável:

T z = 2 ( z - 0,5 ) ( z - 2 e - 5 T + 1 )

Passo 1

Para que um sistema discreto seja estável, as raízes de sua equação característica no domínio z devem estar dentro do círculo de raio unitário e com centro na origem. Em outras pealavras, o módulo das raízes deve ser menor que 1 .

A equação característica nada mias é do que o denominador da função de transferência em malha fechada, como o exercício já nos deu a expressaõ da função de transferência em malha fechada, a equação característica será:

( z - 0,5 ) ( z + 3 e - 5 T - 2 ) = 0

Passo 2

Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela terá duas raízes. Uma delas é:

z = 0,5

E como:

- 1 < 0,5 < 1

Essa raíz satisfaz ao critério de estabilida, pois está dentro do círculo de raio unitário.

Passo 3

A segunda raíz será:

z = - 3 e - 5 T + 2

Para que o sistema seja estável essa raíz também deve atender ao critério de estabilidade, ou seja:

- 1 < - 3 e - 5 T + 2 < 1

Sendo assim, vamos encontrar os valores de T que fazem com que a raíz seja igual a - 1 e + 1 para determinar a faixa de T .

Passo 4

Primeiro vamos achar o valor de T que torna a raíz igual a - 1 :

- 3 e - 5 T + 2 = - 1

- 3 e - 5 T = - 3

e - 5 T = 1

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

ln ⁡ e - 5 T = ln ⁡ 1

- 5 T = 0

T = 0

Passo 5

Agora vamos encontrar o valor de T que faz com que a raíz seja 1 :

- 3 e - 5 T + 2 = 1

- 3 e - 5 T = - 1

e - 5 T = 1 3

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

ln ⁡ e - 5 T = ln ⁡ 1 3

- 5 T = - 1,1

T = 0,22

Portanto a faixa aceitável para o período de amostragem é:

0 < T < 0,22

Resposta

0 < T < 0,22