Exercícios Resolvidos de Estabilidade de sistemas discretos

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Enunciado

Determine a faixa de ganho, K , para tornar o sistema mostrado na figura abaixo estável.

Passo 1

Para determinar a estabilidade do sistema digital primeiro devemos encontrar a função de transferência em malha fechada dele no plano z . Para isso, não podemos encontrar a função de transferência no plano s e depois aplicar a transformada Z .

A abordagem correta na verdade é encontrar a função de transferência em malha aberta no plano s , aplicar a transformada Z , encontrando a função de transferência em malha aberta no plano z e com ela encontrar a função de transferência em malha dechada no plano z .

Então vamos lá, primeiro de tudo vamos achara a função de transferência em malha aberta no plano s :

G O L s = 1 - e - T s s 3 K s + 4 )

Onde 1 - e - T s s é a função de transferência do segurador.

Passo 2

Agora aplicamos a transformada Z para encontrar G O L ( z ) :

G O L z = Z 1 - e - T s s 3 K s + 4

Manipulando um pouco temos:

G O L Z = Z 1 - e - T s Z 3 K s ( s + 4 )

Como pela definição temos que:

z = e T s

Podemos fazer:

Z 1 - e - T s = 1 - z - 1 = z - 1 z

Portanto:

G O L z = z - 1 z Z 3 K s ( s + 4 )

Passo 3

Para fazer a transformada Z 3 K s 2 ( s + 4 ) vamos aplicar a divisão em frações parciais:

Z 3 K s + 4 = 3 K × Z 1 / 4 s - 1 / 4 s + 4

Olhando uma tabela de transformada Z teremos:

3 K × Z 1 / 4 s + 1 / 4 s + 4 = 3 K 4 z z - 1 - z z - e - 4 T

Portanto:

G O L z = 3 K z - 1 4 z z z - 1 - z z - e - 4 T

Simplificando:

G O L z = 3 K 4 1 - z - 1 z - e - 4 T

Fazendo o MMC e juntando tudo:

G O L z = 3 K 4 z - e - 4 T - z - 1 ( z - e - 4 T )

Sunstituindo T = 0,2 :

G O L z = 3 K 4 0,65 ( z - 045 )

Passo 4

Com a função de transferência em malha abreta G O L ( z ) podemos encontrar a função de transferência em malha fechada, T ( z ) :

T z = G O L z 1 + G O L z

Portanto:

T z = 3 K 4 0,65 ( z - 045 ) 1 + 0,047 K 3 K 4 0,65 ( z - 045 )

Multplicando em cima e embaixo por z - 0,45 teremos:

T z = 3 K 4 0,65 z - 0,45 + 3 K 4 0,65

Passo 5

Para que o sistema seja estável, as raízes da equação característica devem estar dentro da circunferência de raio unitário com centro na origem. A equação característica para o sistema é o denominador da função de transferência, portanto:

z - 0,45 + 3 K 4 0,65 = 0

Como o nosso polinômio é de primeira ordem, nós teremos apenas uma raíz. Para o sistema ser estável, é necessário que essa raíz esteja compreendida entre - 1   e 1 .

A razíz será então:

z = 0,45 - 3 K 4 0,65

z = 0,45 - 0,49 K

Passo 6

Vamos primeiro encontrar o valor de K que torna a raíz - 1 :

0,45 - 0,49 K = - 1

- 0,49 K = - 1,45

K = 2,9 6

E agora, vamos ber qual valor de K faz com que a raíz seja 1 :

0,45 - 0,49 K = 1

- 0,49 K = 0,65

K = - 1,32

Sendo assim, a faixa do ganho K para o processo ser estável será:

- 1,32 < K < 2,96

Na maioria das vezes, vamos tentar evitar ganhos negativos, portanto:

0 < K < 2,96

Resposta

0 < K < 2,96