[0,5] Sendo f(x)=(x-3) /(x+1) obter f(f(f(x))).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\dfrac{x-3}{x+1} definida (onde faz sentido) e pede que se obtenha f(f(f(x))).
Informações e restrições explícitas que temos:
  • O domínio indicado é o intervalo [0,5] (o enunciado começou com [0,5]).
  • A expressão de f exige x\neq -1 para que não haja divisão por zero na definição inicial.
  • A tarefa é calcular a composição três vezes: primeiro f(x), depois f(f(x)), por fim f(f(f(x))).

Passo 2

Estratégia (método): vamos calcular passo a passo por substituição direta. Isto significa:
  • Primeiro definir y=f(x)=\dfrac{x-3}{x+1}.
  • Depois calcular f(f(x))=f(y)=\dfrac{y-3}{y+1} substituindo y pela fração \dfrac{x-3}{x+1} e simplificando.
  • Por fim calcular f(f(f(x)))=f(f(f(x)))=f\big(f(f(x))\big) substituindo a expressão obtida para f(f(x)) na fórmula \dfrac{(\cdot)-3}{(\cdot)+1} e simplificando.
    Vou mostrar cada substituição e cada passo de simplificação com detalhe (multiplicar por x+1 quando necessário, combinar termos, fatorar e cancelar), e a cada passo apontar as restrições de domínio que surgem (valores que tornam algum denominador nulo).

Passo 3

Cálculo de f(f(x)). Seja y=f(x)=\dfrac{x-3}{x+1}. Então
f(f(x))=f(y)=\dfrac{y-3}{y+1}.
Substituindo y=\dfrac{x-3}{x+1} obtemos
f(f(x))=\dfrac{\dfrac{x-3}{x+1}-3}{\dfrac{x-3}{x+1}+1}.
Agora colocamos termos sobre o mesmo denominador x+1:
\dfrac{x-3}{x+1}-3=\dfrac{x-3-3(x+1)}{x+1}=\dfrac{x-3-3x-3}{x+1}=\dfrac{-2x-6}{x+1}=\dfrac{-2(x+3)}{x+1},
\dfrac{x-3}{x+1}+1=\dfrac{x-3+(x+1)}{x+1}=\dfrac{2x-2}{x+1}=\dfrac{2(x-1)}{x+1}.
Dividindo as duas frações (numerador dividido pelo denominador) aparece um cancelamento de x+1:
f(f(x))=\dfrac{\dfrac{-2(x+3)}{x+1}}{\dfrac{2(x-1)}{x+1}} =\dfrac{-2(x+3)}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{2(x-1)} =-\dfrac{x+3}{x-1}.
Portanto
f(f(x))=-\dfrac{x+3}{x-1}.
Restrições de domínio observadas até aqui:
  • Para f(x) inicial é necessário x\neq -1.
  • Para f(f(x)) a expressão final tem denominador x-1, portanto exige também x\neq 1. (Isto corresponde ao fato que f(x)=-1 quando x=1, o que impediria a segunda composição.)

Passo 4

Cálculo de f(f(f(x))). Use a expressão obtida para f(f(x)), chame-a de z:
z=f(f(x))=-\dfrac{x+3}{x-1}.
Então
f(f(f(x)))=f(z)=\dfrac{z-3}{z+1}.
Substituindo z:
z-3=-\dfrac{x+3}{x-1}-3=\dfrac{-(x+3)-3(x-1)}{x-1}=\dfrac{-x-3-3x+3}{x-1}=\dfrac{-4x}{x-1},
z+1=-\dfrac{x+3}{x-1}+1=\dfrac{-(x+3)+(x-1)}{x-1}=\dfrac{-x-3+x-1}{x-1}=\dfrac{-4}{x-1}.
Agora a divisão:
f(f(f(x)))=\dfrac{\dfrac{-4x}{x-1}}{\dfrac{-4}{x-1}} =\dfrac{-4x}{x-1}\cdot\dfrac{x-1}{-4}=x.
Observe que os fatores -4 e x-1 cancelam, deixando simplesmente x. Portanto, algebraicamente,
f(f(f(x)))=x,
sempre que as composições intermediárias façam sentido (i.e. desde que nenhum denominador tenha sido zero nas etapas anteriores).

Passo 5

Análise de domínio final da composição: para que f(f(f(x))) esteja bem definida precisamos que todas as etapas sejam válidas:
  • Primeira etapa exige x\neq -1.
  • Segunda etapa exige x\neq 1 (pois para x=1 tem-se f(x)=-1 e a segunda composição fracassa).
    A terceira etapa não gera nova restrição (verificação: não existem x que façam f(f(x))=-1, portanto não surge denominador zero adicional).
    Assim o resultado f(f(f(x)))=x vale para todo x tal que x\neq -1 e x\neq 1. Dentro do intervalo dado [0,5] isso significa que a identidade vale para todos x\in[0,5] exceto x=1 (pois -1\notin[0,5]).

Resposta

\,f(f(f(x)))=x para \,x\in[0,5]\setminus\{1\}.

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