Sendo
obter
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida (onde faz sentido) e pede que se obtenha
.
Informações e restrições explícitas que temos:
Informações e restrições explícitas que temos:
- O domínio indicado é o intervalo
(o enunciado começou com ). - A expressão de
exige para que não haja divisão por zero na definição inicial. - A tarefa é calcular a composição três vezes: primeiro
, depois , por fim .
Passo 2
Estratégia (método): vamos calcular passo a passo por substituição direta. Isto significa:
- Primeiro definir
. - Depois calcular
substituindo pela fração e simplificando. - Por fim calcular
substituindo a expressão obtida para na fórmula e simplificando.
Vou mostrar cada substituição e cada passo de simplificação com detalhe (multiplicar porquando necessário, combinar termos, fatorar e cancelar), e a cada passo apontar as restrições de domínio que surgem (valores que tornam algum denominador nulo).
Passo 3
Cálculo de
. Seja
. Então
Substituindo
obtemos
Agora colocamos termos sobre o mesmo denominador
:
Dividindo as duas frações (numerador dividido pelo denominador) aparece um cancelamento de
:
Portanto
Restrições de domínio observadas até aqui:
- Para
inicial é necessário . - Para
a expressão final tem denominador , portanto exige também . (Isto corresponde ao fato que quando , o que impediria a segunda composição.)
Passo 4
Cálculo de
. Use a expressão obtida para
, chame-a de
:
Então
Substituindo
:
Agora a divisão:
Observe que os fatores
e
cancelam, deixando simplesmente
. Portanto, algebraicamente,
sempre que as composições intermediárias façam sentido (i.e. desde que nenhum denominador tenha sido zero nas etapas anteriores).
Passo 5
Análise de domínio final da composição: para que
esteja bem definida precisamos que todas as etapas sejam válidas:
- Primeira etapa exige
. - Segunda etapa exige
(pois para tem-se e a segunda composição fracassa).
A terceira etapa não gera nova restrição (verificação: não existemque façam , portanto não surge denominador zero adicional).
Assim o resultadovale para todo tal que e . Dentro do intervalo dado isso significa que a identidade vale para todos exceto (pois ).