Calcular
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
em relação a
para a função
Informações/clarificações importantes que vou usar (tiradas diretamente do enunciado):
- A função dada é
. - Aqui vou interpretar
como (logaritmo na base ). - Vou interpretar
como . - Vou interpretar
como a função seno, ou seja, .
O que é pedido: calcular.
Passo 2
Derivada termo a termo: a derivada de uma soma/ subtração é a soma/ subtração das derivadas. Então posso derivar cada parcela separadamente:
Vou calcular cada uma dessas derivadas isoladamente.
Passo 3
Derivada do primeiro termo:
.
- Regra: a derivada de
em relação a é .
Portanto,
Passo 4
Derivada do segundo termo:
.
Vou mostrar duas maneiras equivalentes (escolha a que preferir na prova):
Vou mostrar duas maneiras equivalentes (escolha a que preferir na prova):
Método A — usando mudança de base e regra da cadeia:
- Primeiro usar que
. Assim
- Agora
(propriedade do logaritmo natural). - Logo
. - Derivando: a derivada de
em relação a é (porque é constante).
Portanto
Método B — diretamente pela regra da cadeia para
:
- Fórmula geral:
. - Tomando
tem-se . - Então
mesmo resultado. (As duas maneiras são equivalentes.)
Passo 5
Derivada do terceiro termo:
.
- Constante multiplicativa:
. - Regra da cadeia para
: se , então . - Aqui
, então . - Logo
. - Portanto
Passo 6
Juntando as derivadas dos três termos (Passos 3, 4 e 5):
Dica rápida para a prova: perceber que
simplifica para
evita fazer regra da cadeia na correria; já a derivada da parte trigonométrica pede apenas lembrar que a derivada de
é
.