Calcular d y / d x para as seguintes funções:
y=x-\lg (\exp (x))+2 \operatorname{sen} \pi x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y em relação a x para a função
y = x - \lg(\exp(x)) + 2\\ \operatorname{sen}\pi x.
Informações/clarificações importantes que vou usar (tiradas diretamente do enunciado):
  • A função dada é y=x-\lg(\exp(x))+2\operatorname{sen}\pi x.
  • Aqui vou interpretar \lg como \log_{10} (logaritmo na base 10).
  • Vou interpretar \exp(x) como e^{x}.
  • Vou interpretar \operatorname{sen} como a função seno, ou seja, \sin.
    O que é pedido: calcular \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Derivada termo a termo: a derivada de uma soma/ subtração é a soma/ subtração das derivadas. Então posso derivar cada parcela separadamente:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(x)\;-\;\frac{d}{d x}\big(\lg(\exp(x))\big)\;+\;\frac{d}{d x}\big(2\sin(\pi x)\big).
Vou calcular cada uma dessas derivadas isoladamente.

Passo 3

Derivada do primeiro termo: \dfrac{d}{d x}(x).
  • Regra: a derivada de x em relação a x é 1.
    Portanto,
\frac{d}{d x}(x)=1.

Passo 4

Derivada do segundo termo: \dfrac{d}{d x}\big(\lg(\exp(x))\big).
Vou mostrar duas maneiras equivalentes (escolha a que preferir na prova):
Método A — usando mudança de base e regra da cadeia:
  • Primeiro usar que \lg(u)=\log_{10}u=\dfrac{\ln u}{\ln 10}. Assim
\lg(\exp(x))=\frac{\ln(\exp(x))}{\ln 10}.
  • Agora \ln(\exp(x))=\ln(e^{x})=x (propriedade do logaritmo natural).
  • Logo \lg(\exp(x))=\dfrac{x}{\ln 10}.
  • Derivando: a derivada de \dfrac{x}{\ln 10} em relação a x é \dfrac{1}{\ln 10} (porque \ln 10 é constante).
    Portanto
\frac{d}{d x}\big(\lg(\exp(x))\big)=\frac{1}{\ln 10}.
Método B — diretamente pela regra da cadeia para \log_{10}:
  • Fórmula geral: \dfrac{d}{d x}\log_{10}u(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)\ln 10}.
  • Tomando u(x)=\exp(x)=e^{x} tem-se u'(x)=e^{x}.
  • Então
\frac{d}{d x}\big(\lg(\exp(x))\big)=\frac{e^{x}}{e^{x}\ln 10}=\frac{1}{\ln 10},
mesmo resultado. (As duas maneiras são equivalentes.)

Passo 5

Derivada do terceiro termo: \dfrac{d}{d x}\big(2\sin(\pi x)\big).
  • Constante multiplicativa: \dfrac{d}{dx}\big(2\sin(\pi x)\big)=2\cdot\dfrac{d}{dx}\big(\sin(\pi x)\big).
  • Regra da cadeia para \sin: se v(x)=\sin(w(x)), então v'(x)=\cos(w(x))\cdot w'(x).
  • Aqui w(x)=\pi x, então w'(x)=\pi.
  • Logo \dfrac{d}{dx}\sin(\pi x)=\cos(\pi x)\cdot\pi.
  • Portanto
\frac{d}{d x}\big(2\sin(\pi x)\big)=2\cdot\pi\cos(\pi x)=2\pi\cos(\pi x).

Passo 6

Juntando as derivadas dos três termos (Passos 3, 4 e 5):
\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{\ln 10}+2\pi\cos(\pi x).
Dica rápida para a prova: perceber que \lg(\exp(x)) simplifica para x/\ln 10 evita fazer regra da cadeia na correria; já a derivada da parte trigonométrica pede apenas lembrar que a derivada de \sin(kx) é k\cos(kx).

Resposta

\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{\ln 10}+2\pi\cos(\pi x)

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