[0.5pt] Para qual valor de k o sistema abaixo tem solução única?
l x+y+z=2 2 x-y+3 z=5 4 x+k y+6 z=10
a) k eq 1
d) k eq-2
e) k eq 2

Passo 1

Então, temos um sistema de três equações com três incógnitas x , y e z . Queremos descobrir para qual valor de k esse sistema terá uma solução única. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
1 & 1 & 1 2 & -1 & 3 4 & k & 6

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dirá se a matriz é invertível (ou seja, se o sistema tem uma solução única). O determinante D é dado por:
D = 1 cdot (-1 cdot 6 - 3 cdot k) - 1 cdot (2 cdot 6 - 3 cdot 4) + 1 cdot (2 cdot k - (-1) cdot 4)
Simplificando:
D = 1 cdot (-6 - 3k) - 1 cdot (12 - 12) + 1 cdot (2k + 4) = -6 - 3k + 2k + 4 = -2 - k
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante não pode ser zero:
-2 - k neq 0 implies k neq -2

Resposta

d) k neq -2

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