Verifique quais das matrizes abaixo são inversíveis, em cujo caso calcule a inversa pelo método das operações elementares:
A=(rrr 2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4 ), B=(lll 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2 ) e C=(rr 3 & 5 7 & 10 )

Passo 1

O enunciado apresenta três matrizes
A=2 & 1 & 00 & 3 & -11 & 1 & 4, B=1 & 1 & 00 & 2 & 21 & 0 & 2, C=3 & 57 & 10
e pede para verificar quais são inversíveis e, quando forem, calcular suas inversas pelo método das operações elementares (Gauss–Jordan). Primeiro usamos determinantes para testar a invertibilidade; depois, para cada matriz inversível, montamos [Mmid I] e reduzimos até [Imid M^-1].

Passo 2

Calculemos os determinantes:
det(A)=2cdot(3cdot4-(-1)cdot1)-1cdot(0cdot4-(-1)cdot1)=2cdot13-1cdot1=25neq0,
det(B)=1cdot(2cdot2-2cdot0)-1cdot(0cdot2-2cdot1)=4-(-2)=6neq0,
det(C)=3cdot10-5cdot7=30-35=-5neq0
Como todos os determinantes são não nulos, A, B e C são inversíveis.

Passo 3

Aplicando Gauss–Jordan em l[Amid I3r] para obter A^-1, obtemos após a sequência de trocas, eliminações e escalonamentos:
A^-1 =125 13 & -4 & -1 -1 & 8 & 2 -3 & -1 & 6

Passo 4

Fazendo o mesmo em l[B mid I3r], a redução leva a
B^-1 = tfrac23 & -tfrac13 & tfrac13[6pt] tfrac13 & tfrac13 & -tfrac13[6pt] -tfrac13 & tfrac16 & tfrac13 ]

Passo 5

Em l[C mid I2r], a redução por operações elementares dá
C^-1 = -2 & 1[4pt] tfrac75 & -tfrac35 ]

Resposta

A, B e C são todas inversíveis, e suas inversas são:
A^-1=125 13 & -4 & -1 -1 & 8 & 2 -3 & -1 & 6 , B^-1= tfrac23 & -tfrac13 & tfrac13 tfrac13 & tfrac13 & -tfrac13 -tfrac13 & tfrac16 & tfrac13 , C^-1= -2 & 1 tfrac75 & -tfrac35

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