Seja T: R^3 R^2 a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rrr 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 ]
onde alpha=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e beta=(-1,0),(0,-1) são bases de R^3 e R^2, respectivamente.
T é injetiva? É sobrejetiva? Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;T:R^3toR^2\
cuja matriz de representação relativa à base alpha de R^3 e à base beta de R^2 é
[T]beta^alpha = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Precisamos decidir se T é injetiva (kernel trivial) e se é sobrejetiva (imagem igual a R^2). Vamos usar o cálculo do posto da matriz e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank--nullity).

Passo 2

Calculemos o posto de
;A=[T]beta^alpha = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Basta verificar que existe uma submatriz 2times2 de determinante não nulo. Por exemplo, usando as colunas 1 e 2:
det 1 & 0 -1 & 1 =1cdot1-0cdot(-1)=1neq0
Logo
;rank(A)=2

Passo 3

Como dim(R^2)=2 e rank(T)=rank(A)=2, segue-se que
diml(Im,Tr)=2=dim(R^2),
ou seja, Im,T=R^2. Portanto, T é sobrejetiva.

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity),
diml(ker Tr) =dim(R^3)-rank(T) =3-2=1>0
Isso mostra que ker Tneq0, logo T não é injetiva.

Resposta

T não é injetiva e T é sobrejetiva.

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