onde alpha=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e beta=(-1,0),(0,-1) são bases de R^3 e R^2, respectivamente. T é injetiva? É sobrejetiva? Justifique.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear ;T:R^3toR^2\
cuja matriz de representação relativa à base alpha de R^3 e à base beta de R^2 é
[T]beta^alpha = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Precisamos decidir se T é injetiva (kernel trivial) e se é sobrejetiva (imagem igual a R^2). Vamos usar o cálculo do posto da matriz e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank--nullity).
Passo 2
Calculemos o posto de ;A=[T]beta^alpha = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Basta verificar que existe uma submatriz 2times2 de determinante não nulo. Por exemplo, usando as colunas 1 e 2: