Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho estavam entediados em uma bela tarde de domingo, quanto tiveram uma ideia de um jogo muito divertido: Considerando uma matriz A3 times 3. aquele que afirmasse corretamente e com justificativa se a matriz A é ou não diagonalizável venceria. Após alguns instantes ocorre o seguinte diálogo.
  • Joãozinho: até agora eu só consegui descobrir que 1 é autovalor de A.
  • Mariazinha: e eu descobri que -1 é autovalor de A.
  • Pedrinho: eu descobri que A nāo é invertível.
  • Joãozinho: mas Pedrinho, ser invertível ou não nada tem a ver com o jogo!
  • Mariazinha: Aí é que você se engana Joāozinho, venci! a Matriz A é sim diagonalizável!
    Supondo que não tenha havido erros nos calculos de Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho, responda se de fato Mariazinha está correta sobre A ser diagonalizável e justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão. Temos uma matriz quadrada A de tamanho 3 times 3 . O objetivo é descobrir se essa matriz é diagonalizável com base nas informações que Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho encontraram sobre os autovalores de A .

Passo 2

Joãozinho descobriu que 1 é um autovalor de A . Isso significa que existe um vetor não nulo v tal que:
A v = 1 cdot v

Passo 3

Mariazinha encontrou que -1 também é um autovalor de A . Ou seja, existe um vetor não nulo w para o qual:
A w = (-1) cdot w

Passo 4

Pedrinho descobriu que A não é invertível. Uma matriz não invertível tem determinante igual a zero:
det(A) = 0
Quando o determinante é zero, isso implica que 0 é outro autovalor de A .

Passo 5

Agora, sabemos que os autovalores de A são 1 , -1 e 0 . Como estamos lidando com uma matriz 3 times 3 , se todos os três autovalores são distintos, isso é um bom indicativo de que a matriz pode ser diagonalizável.

Passo 6

Para uma matriz ser diagonalizável, ela precisa ter um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. No nosso caso, como os autovalores são todos distintos ( 1 , -1 e 0 ), garantimos que há três autovetores diferentes e, portanto, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Sim, Mariazinha está correta. A matriz A é diagonalizável.

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