Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho estavam entediados em uma bela tarde de domingo, quanto tiveram uma ideia de um jogo muito divertido: Considerando uma matriz
. aquele que afirmasse corretamente e com justificativa se a matriz
é ou não diagonalizável venceria. Após alguns instantes ocorre o seguinte diálogo.
- Joãozinho: até agora eu só consegui descobrir que 1 é autovalor de A.
- Mariazinha: e eu descobri que -1 é autovalor de
.
- Pedrinho: eu descobri que
nāo é invertível.
- Joãozinho: mas Pedrinho, ser invertível ou não nada tem a ver com o jogo!
- Mariazinha: Aí é que você se engana Joāozinho, venci! a Matriz
é sim diagonalizável!
Supondo que não tenha havido erros nos calculos de Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho, responda se de fato Mariazinha está correta sobre
ser diagonalizável e justifique sua resposta.
Supondo que não tenha havido erros nos calculos de Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho, responda se de fato Mariazinha está correta sobre
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão. Temos uma matriz quadrada
de tamanho
. O objetivo é descobrir se essa matriz é diagonalizável com base nas informações que Joãozinho, Mariazinha e Pedrinho encontraram sobre os autovalores de
.
Passo 2
Joãozinho descobriu que
é um autovalor de
. Isso significa que existe um vetor não nulo
tal que:
Passo 3
Mariazinha encontrou que
também é um autovalor de
. Ou seja, existe um vetor não nulo
para o qual:
Passo 4
Pedrinho descobriu que
não é invertível. Uma matriz não invertível tem determinante igual a zero:
Quando o determinante é zero, isso implica que
é outro autovalor de
.
Passo 5
Agora, sabemos que os autovalores de
são
,
e
. Como estamos lidando com uma matriz
, se todos os três autovalores são distintos, isso é um bom indicativo de que a matriz pode ser diagonalizável.
Passo 6
Para uma matriz ser diagonalizável, ela precisa ter um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. No nosso caso, como os autovalores são todos distintos (
,
e
), garantimos que há três autovetores diferentes e, portanto, a matriz
é diagonalizável.
Resposta
Sim, Mariazinha está correta. A matriz
é diagonalizável.