1. [0,75 ponto ] Se X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) com média 80 e desvio padrão 10 , qual o 86^{\circ} percentil?
  2. [0,75 ponto ] Se X \sim \Gamma(\alpha, \beta) com \alpha=7 e \beta=2, calcule P(X<12).
  3. [0,5 ponto ] Qual a relação entre as distribuições exponencial e de Poisson? Como seus parâmetros se relacionam? llustre com um exemplo prático.

Passo 1

O enunciado traz três problemas distintos de probabilidade:
– Calcular o 86º percentil de uma variável X\sim N(\mu=80,\sigma^2=10^2).
– Calcular P(X<12) para X\sim\Gamma(\alpha=7,\beta=2).
– Descrever a relação entre distribuições exponencial e de Poisson e como seus parâmetros se conectam, com um exemplo prático.

Passo 2

Para achar o 86º percentil de X\sim N(80,10^2), note que percentil p é o valor x_p tal que
P(X\le x_p)=p.
Aqui p=0,86. Padronizando, se Z\sim N(0,1), então
P\bigl(Z\le z_p\bigr)=0,86 \quad\Longrightarrow\quad z_{0,86}=\Phi^{-1}(0,86)\approx1,08.
Voltando à escala de X, usamos
x_{0,86}=\mu+\sigma\,z_{0,86} =80+10\cdot1,08 \approx90,8.

Passo 3

Para X\sim\Gamma(\alpha=7,\beta=2) com forma inteira \alpha=7, a CDF é a soma dos termos da distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=x/\beta. Em particular, para x=12, temos x/\beta=6 e
P(X<12) =P\bigl(X\le12\bigr) =\sum_{i=0}^{6}e^{-6}\,\frac{6^i}{i!}.
Calculando os termos:
\sum_{i=0}^{6}e^{-6}\,\frac{6^i}{i!} \approx0,6057.

Passo 4

Uma forma de ver a relação é lembrar do processo de Poisson de taxa \lambda (número médio de eventos por unidade de tempo). Nesse processo:
– O número de eventos em intervalo de comprimento t segue \mathrm{Poisson}(\lambda t).
– O tempo entre dois eventos consecutivos segue \mathrm{Exponencial}(\text{taxa }=\lambda).
O parâmetro \lambda que aparece na Poisson como média por unidade de tempo é justamente a taxa (rate) da exponencial.
Exemplo prático: suponha que ligações chegam a um call center à razão média de 5 chamadas por hora. Então:
– O número de chamadas em 1 hora é \mathrm{Poisson}(5).
– O tempo até a próxima ligação é \mathrm{Exponencial}(5) horas.

Resposta

  1. x_{0,86}\approx90,8.
  2. P(X<12)\approx0,606.
  3. Em um processo de Poisson de taxa \lambda, o número de eventos em tempo t é \mathrm{Poisson}(\lambda t) e os tempos entre eventos são iid \mathrm{Exponencial}(\lambda). Ex.: com \lambda=5 chamadas/h, as chamadas por hora seguem Poisson(5) e o tempo até a próxima chamada é Exponencial(5).

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