1. [2,5 pontos] Um processo de producăo é responsável por fabricar milhares de peças por dia. Em média, 1% das peças é defeituoso, e essa média nấo varia com o tempo. A toda hora, uma amostra aleatória de 100 peças é selecionada de uma esteira, e várias caracteristicas sâo observadas e medidas em cada uma; no entanto, o inspetor classifica a peça como boa ou defeituosa. A probabilidade da peça ser defeituosa é 0,01 . O inspetor tem instruçös para parar o processo se a amostra tiver mais de duas peças defeituosas. Qual a probabilidade de o inspetor parar o processo? Qual o número esperado de peças defeituosas e a variância?

Passo 1

O enunciado descreve um processo em que a cada hora se inspeciona uma amostra de n=100 peças, cada peça tendo probabilidade p=0,01 de ser defeituosa. Vamos modelar o número de peças defeituosas por X\sim \mathrm{Binomial}(n=100,p=0,01). Precisamos de (a) \Pr(\text{o inspetor parar})=\Pr(X>2), (b) E(X) e (c) \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Para uma variável binomial X\sim \mathrm{Binomial}(n,p) vale
E(X)=n\,p
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p)
Logo,
E(X)=100\cdot0,01=1
\mathrm{Var}(X)=100\cdot0,01\cdot0,99=0,99

Passo 3

O inspetor para se X\ge3. Assim
\Pr(X>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\Pr(X=k)
e
\Pr(X=k)=\binom{100}{k}(0,01)^k(0,99)^{100-k}.
Calculemos
\Pr(X=0)=(0,99)^{100}\approx0,3660,
\Pr(X=1)=100\,(0,01)\,(0,99)^{99}\approx0,3690,
\Pr(X=2)=\binom{100}{2}(0,01)^2(0,99)^{98}\approx0,1846.
Somando
\sum_{k=0}^2\Pr(X=k)\approx0,3660+0,3690+0,1846=0,9196
e, portanto,
\Pr(X>2)=1-0,9196=0,0804.

Resposta

A probabilidade de o inspetor parar o processo é aproximadamente 0,0804.
O número esperado de peças defeituosas é E(X)=1 e a variância é \mathrm{Var}(X)=0,99.

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