Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
5^{\log _{25} 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,5^{\log_{25} 2}.
Informações dadas:
  • A base externa é 5.
  • O expoente é \log_{25} 2, ou seja, o logaritmo de 2 na base 25.

Passo 2

Lembrete básico (definição de logaritmo) — isso é essencial: se \,y=\log_a b então, por definição,
a^{y}=b.
Ou seja, o logaritmo responde à pergunta: “a que potência devo elevar a para obter b?”.

Passo 3

Vamos chamar o expoente de uma letra para facilitar. Seja
x=\log_{25}2.
Pela definição de logaritmo isso significa
25^{x}=2.

Passo 4

Use a relação entre potências: 25=5^{2}. Substituindo em 25^{x}=2 e aplicando a regra (a^{m})^{n}=a^{mn}, obtemos
(5^{2})^{x}=5^{2x}=2.

Passo 5

O que queremos calcular é 5^{\log_{25}2}=5^{x}. A partir de 5^{2x}=2 podemos escrever
(5^{x})^{2}=2.
Portanto 5^{x} é a raiz quadrada positiva de 2 (escolhemos a raiz positiva porque potências de base positiva são positivas). Logo
5^{x}=\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (troca de base), só para reforçar:
\log_{25}2=\frac{\log_{5}2}{\log_{5}25}=\frac{\log_{5}2}{2},
então
5^{\log_{25}2}=5^{\frac{\log_{5}2}{2}}=\bigl(5^{\log_{5}2}\bigr)^{1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2},
mesma conclusão.

Resposta

\sqrt{2}

Exercícios relacionados