[0] - Prove que todo número real não nulo tem quadrado positivo. Conclua que 1>0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Provar que todo número real não nulo tem quadrado positivo, isto é, mostrar que para todo x\in\mathbb{R} com x\neq0 vale x^2>0.
  • A partir disso concluir que 1>0.
Informações relevantes (hipóteses/axiomas que vamos usar, todas válidas no conjunto dos reais \mathbb{R} com suas propriedades de corpo ordenado):
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale exatamente uma das alternativas: x=0, x>0 ou x<0 (tricotomia).
  • Se a>0 e b>0 então ab>0 (multiplicação preserva a ordem quando se multiplica por número positivo).
  • Se x<0 então -x>0.
  • A unidade multiplicativa 1 é diferente de 0 (ou seja, 1\neq0).

Passo 2

Vou explicar com calma duas peças de teoria que usarei, sem pular etapas.
Peça 1 — por que multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade: se b>0 e a>c, então ab>cb. Isso é uma propriedade básica de corpos ordenados: a desigualdade é compatível com a multiplicação por números positivos. Em particular, tomando c=0, se a>0 e b>0 então ab>0.
Peça 2 — relação entre sinal de x e sinal de -x: pela definição de ordem, se x<0 então, somando -x aos dois lados da desigualdade x<0, obtemos 0<-x, isto é, -x>0. Essa é uma manipulação elementar das desigualdades (somar o mesmo número preserva a ordem).
Essas duas peças são suficientes para tratar os dois casos possíveis de um x\neq0: x>0 ou x<0.

Passo 3

Agora o argumento principal, com todos os detalhes.
Seja x\in\mathbb{R} e suponha x\neq0. Então, pela tricotomia, ou x>0 ou x<0.
Caso A: x>0.
  • Como x>0, podemos multiplicar a desigualdade x>0 por x (que é positivo) e, pela propriedade explicada no Passo 2, o sinal se preserva. Assim obtemos
x\cdot x>0\quad\text{ou seja}\quad x^2>0.
Caso B: x<0.
  • Então, conforme a Peça 2, -x>0.
  • Aplicando o mesmo raciocínio do caso A à quantidade -x (que é positiva), multiplicamos -x>0 por -x e obtemos
(-x)\cdot(-x)>0\quad\text{ou seja}\quad (-x)^2>0.
  • Mas (-x)^2 = x^2 porque (-x)\cdot(-x)=x\cdot x. Portanto novamente x^2>0.
Assim, em ambos os casos (que cobrem todas as possibilidades para x\neq0) concluímos que x^2>0.
Observação extra (para deixar claro): não usamos inverso multiplicativo nem contradizemos nenhuma hipótese; apenas usamos propriedades elementares da ordem e da multiplicação.

Passo 4

Aplicação ao caso de 1.
Sabendo que todo real não nulo tem quadrado positivo, e sabendo também que 1\neq0, aplicamos a propriedade com x=1:
1^2>0.
Mas 1^2=1. Portanto
1>0.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{R} com x\neq0 vale x^2>0.
Logo 1>0.

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