[0] - Prove que todo número real não nulo tem quadrado positivo. Conclua que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar que todo número real não nulo tem quadrado positivo, isto é, mostrar que para todo
com vale . - A partir disso concluir que
.
Informações relevantes (hipóteses/axiomas que vamos usar, todas válidas no conjunto dos reais
com suas propriedades de corpo ordenado):
- Para todo
vale exatamente uma das alternativas: , ou (tricotomia). - Se
e então (multiplicação preserva a ordem quando se multiplica por número positivo). - Se
então . - A unidade multiplicativa
é diferente de (ou seja, ).
Passo 2
Vou explicar com calma duas peças de teoria que usarei, sem pular etapas.
Peça 1 — por que multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade: se
e
, então
. Isso é uma propriedade básica de corpos ordenados: a desigualdade é compatível com a multiplicação por números positivos. Em particular, tomando
, se
e
então
.
Peça 2 — relação entre sinal de
e sinal de
: pela definição de ordem, se
então, somando
aos dois lados da desigualdade
, obtemos
, isto é,
. Essa é uma manipulação elementar das desigualdades (somar o mesmo número preserva a ordem).
Essas duas peças são suficientes para tratar os dois casos possíveis de um
:
ou
.
Passo 3
Agora o argumento principal, com todos os detalhes.
Seja
e suponha
. Então, pela tricotomia, ou
ou
.
Caso A:
.
- Como
, podemos multiplicar a desigualdade por (que é positivo) e, pela propriedade explicada no Passo 2, o sinal se preserva. Assim obtemos
Caso B:
.
- Então, conforme a Peça 2,
. - Aplicando o mesmo raciocínio do caso A à quantidade
(que é positiva), multiplicamos por e obtemos
- Mas
porque . Portanto novamente .
Assim, em ambos os casos (que cobrem todas as possibilidades para
) concluímos que
.
Observação extra (para deixar claro): não usamos inverso multiplicativo nem contradizemos nenhuma hipótese; apenas usamos propriedades elementares da ordem e da multiplicação.
Passo 4
Aplicação ao caso de
.
Sabendo que todo real não nulo tem quadrado positivo, e sabendo também que
, aplicamos a propriedade com
:
Mas
. Portanto
Resposta
Para todo
com
vale
.
Logo .
Logo