- Desenhe a área sob o gráfico de
em
:
(a) Expresse essa área como uma integral definida e escreva a Soma de Riemann cujo limite é o valor dessa integral
(b) Utilize aproximação linear para estimar a Soma de Riemann com uma soma telescópica envolvendo a primitiva de
(c) Passe ao limite e calcule o valor da área
(a) Expresse essa área como uma integral definida e escreva a Soma de Riemann cujo limite é o valor dessa integral
(b) Utilize aproximação linear para estimar a Soma de Riemann com uma soma telescópica envolvendo a primitiva de
(c) Passe ao limite e calcule o valor da área
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar a área sob o gráfico de
no intervalo
. Há três itens:
(a) escrever essa área como uma integral definida e escrever a Soma de Riemann cujo limite é essa integral;
(b) usar aproximação linear para estimar a Soma de Riemann e transformá‑la numa soma telescópica que envolva a primitiva de ;
(c) passar ao limite e calcular o valor da área.
(a) escrever essa área como uma integral definida e escrever a Soma de Riemann cujo limite é essa integral;
(b) usar aproximação linear para estimar a Soma de Riemann e transformá‑la numa soma telescópica que envolva a primitiva de
(c) passar ao limite e calcular o valor da área.
Informações dadas (úteis para resolver):
- Função:
. - Intervalo:
. - Queremos a área sob a curva (acima do eixo
) nesse intervalo.
Passo 2
Expressar a área como integral e montar a Soma de Riemann.
- A área sob
em é, por definição, a integral definida
- Construir uma partição uniforme do intervalo. Seja
um inteiro positivo e
Defina os pontos da partição
- A Soma de Riemann (usando pontos à esquerda; poderia ser à direita ou pontos quaisquer em cada subintervalo) é
- O valor da integral é o limite dessa soma quando
:
Aqui foi escrita explicitamente a Soma de Riemann cujo limite é a integral.
Passo 3
Explicar e aplicar a aproximação linear (primeira ordem de Taylor) para conectar a Soma de Riemann com uma soma telescópica.
- Regra da aproximação linear / primeira ordem de Taylor para
: para e pequenos,
Isto significa que a variação de
em um pequeno intervalo
é aproximadamente
. Aqui
, então a linearização usa a derivada.
- Aplique isso no subintervalo
com . Pela aproximação linear,
- Reescrevendo a Soma de Riemann
usando essa aproximação:
- A soma do lado direito é telescópica: os termos intermediários cancelam, restando apenas as extremidades:
Como
e
, essa soma telescópica vale
.
Portanto, usando a aproximação linear obtém‑se a estimativa
para todo
suficientemente grande.
Passo 4
Justificar que a aproximação se torna exata no limite e calcular o valor final.
- Controle do erro da aproximação linear: pela forma do resto da expansão de Taylor para
, existe tal que
Assim o erro no
-ésimo termo é da ordem
e tem módulo no máximo
, porque
.
- Somando os erros sobre os
subintervalos, o erro total absoluto satisfaz
Portanto
quando
. Isso mostra que a aproximação linear aplicada a cada subintervalo, somada, tem erro total que vai a zero.
- Conclusão pelo limite: como
(a Soma de Riemann) difere da soma telescópica por um erro que tende a zero, passando ao limite obtém‑se
- Alternativa curta (teorema fundamental do cálculo): como
, a integral é a diferença da primitiva nas extremidades:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)