1. Desenhe a área sob o gráfico de \cos (x) em \left[0, \frac{\pi}{2}\right] :
    (a) Expresse essa área como uma integral definida e escreva a Soma de Riemann cujo limite é o valor dessa integral
    (b) Utilize aproximação linear para estimar a Soma de Riemann com uma soma telescópica envolvendo a primitiva de \cos (x)
    (c) Passe ao limite e calcule o valor da área

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar a área sob o gráfico de \cos(x) no intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Há três itens:
(a) escrever essa área como uma integral definida e escrever a Soma de Riemann cujo limite é essa integral;
(b) usar aproximação linear para estimar a Soma de Riemann e transformá‑la numa soma telescópica que envolva a primitiva de \cos(x);
(c) passar ao limite e calcular o valor da área.
Informações dadas (úteis para resolver):
  • Função: \cos(x).
  • Intervalo: \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
  • Queremos a área sob a curva (acima do eixo x) nesse intervalo.

Passo 2

Expressar a área como integral e montar a Soma de Riemann.
  1. A área sob y=\cos(x) em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] é, por definição, a integral definida
A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx.
  1. Construir uma partição uniforme do intervalo. Seja n um inteiro positivo e
\Delta x=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{n}=\frac{\pi}{2n}.
Defina os pontos da partição
x_i=i\Delta x,\qquad i=0,1,\dots,n.
  1. A Soma de Riemann (usando pontos à esquerda; poderia ser à direita ou pontos quaisquer em cada subintervalo) é
S_n=\sum_{i=1}^{n}\cos\big(x_{i-1}\big)\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\cos\!\left((i-1)\frac{\pi}{2n}\right)\cdot\frac{\pi}{2n}.
  1. O valor da integral é o limite dessa soma quando n\to\infty:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\cos\!\left((i-1)\frac{\pi}{2n}\right)\cdot\frac{\pi}{2n}.
Aqui foi escrita explicitamente a Soma de Riemann cujo limite é a integral.

Passo 3

Explicar e aplicar a aproximação linear (primeira ordem de Taylor) para conectar a Soma de Riemann com uma soma telescópica.
  1. Regra da aproximação linear / primeira ordem de Taylor para \sin: para x e \Delta x pequenos,
\sin(x+\Delta x)\approx \sin(x)+\cos(x)\,\Delta x.
Isto significa que a variação de \sin em um pequeno intervalo \Delta x é aproximadamente \cos(x)\Delta x. Aqui \sin'\!(x)=\cos(x), então a linearização usa a derivada.
  1. Aplique isso no subintervalo [x_{i-1},x_i] com x_i=x_{i-1}+\Delta x. Pela aproximação linear,
\sin(x_i)-\sin(x_{i-1})=\sin(x_{i-1}+\Delta x)-\sin(x_{i-1}) \approx \cos(x_{i-1})\,\Delta x.
  1. Reescrevendo a Soma de Riemann S_n usando essa aproximação:
S_n=\sum_{i=1}^{n}\cos(x_{i-1})\,\Delta x \approx \sum_{i=1}^{n}\big(\sin(x_i)-\sin(x_{i-1})\big).
  1. A soma do lado direito é telescópica: os termos intermediários cancelam, restando apenas as extremidades:
\sum_{i=1}^{n}\big(\sin(x_i)-\sin(x_{i-1})\big)=\sin(x_n)-\sin(x_0).
Como x_n=\dfrac{\pi}{2} e x_0=0, essa soma telescópica vale \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
Portanto, usando a aproximação linear obtém‑se a estimativa S_n\approx 1 para todo n suficientemente grande.

Passo 4

Justificar que a aproximação se torna exata no limite e calcular o valor final.
  1. Controle do erro da aproximação linear: pela forma do resto da expansão de Taylor para \sin, existe \xi\in(x_{i-1},x_i) tal que
\sin(x_i)-\sin(x_{i-1})=\cos(x_{i-1})\,\Delta x-\tfrac{1}{2}\sin(\xi)\,(\Delta x)^2.
Assim o erro no i-ésimo termo é da ordem (\Delta x)^2 e tem módulo no máximo \tfrac{1}{2}(\Delta x)^2, porque |\sin(\xi)|\le 1.
  1. Somando os erros sobre os n subintervalos, o erro total absoluto E_n satisfaz
|E_n|\le n\cdot\frac{1}{2}(\Delta x)^2 =\frac{1}{2}n\left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\cdot\frac{1}{n} =\frac{\pi^2}{8}\cdot\frac{1}{n}.
Portanto E_n\to 0 quando n\to\infty. Isso mostra que a aproximação linear aplicada a cada subintervalo, somada, tem erro total que vai a zero.
  1. Conclusão pelo limite: como S_n (a Soma de Riemann) difere da soma telescópica por um erro que tende a zero, passando ao limite obtém‑se
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx =\lim_{n\to\infty} S_n =\lim_{n\to\infty}\big(\sin(x_n)-\sin(x_0)\big) =\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1.
  1. Alternativa curta (teorema fundamental do cálculo): como \sin'(x)=\cos(x), a integral é a diferença da primitiva \sin nas extremidades:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1.

Resposta

(a) \displaystyle A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\cos\!\left((i-1)\frac{\pi}{2n}\right)\cdot\frac{\pi}{2n}.
(b) \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\cos(x_{i-1})\,\Delta x\approx\sum_{i=1}^{n}\big(\sin(x_i)-\sin(x_{i-1})\big)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1.
(c) \displaystyle A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=1.

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