E m t1=2,00 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido antihorário é (6,00 m / s^2) i+(4,00 m / s^2) j. A partícula se move com velocidade escalar constante. Em2=5,00 s, a aceleração é (4,00 m / s^2) i+(-6,00 m / s^2) j. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t2-t1 é menor que um período de rotação?

Passo 1

O enunciado nos dá que a partícula faz movimento circular uniforme (velocidade escalar constante) e em t1=2,00,s sua aceleração vetorial é
a1 = (6,00,m/s^2),imath + (4,00,m/s^2),jmath
e em t2=5,00,s sua aceleração é
a2 = (4,00,m/s^2),imath + (-6,00,m/s^2),jmath
Num MCU, essa aceleração é puramente centrípeta, de módulo ac = v^2R e direção radial. Como a partícula se move no sentido anti-horário, o vetor a gira também no sentido anti-horário com velocidade angular omega. Vamos usar essas ideias para achar o raio R.

Passo 2

Calculamos o módulo de vec a1 e de vec a2 para verificar que são iguais (condição de MCU):
|vec a1| = raiz6,00^2 + 4,00^2 = raiz36 + 16 = raiz52,
|vec a2| = raiz4,00^2 + (-6,00)^2 = raiz16 + 36 = raiz52
Logo ac = raiz52,m/s^2.

Passo 3

Encontramos o ângulo de cada vetor em relação ao eixo x, medido no sentido anti-horário:
phi1 = arctan!l(tfrac46r)approx 33,69^circ,
phi2 = arctan!l(tfrac-64r)approx -56,31^circ,
que em módulo 360^circ equivale a phi2 = 360^circ - 56,31^circ = 303,69^circ.

Passo 4

Como o vetor aceleração gira no mesmo sentido anti-horário que o movimento e o intervalo De<a t = t2-t1=3,00,s é menor que um período, o deslocamento angular do vetor aceleração é
De<a phi = phi2 - phi1 = 303,69^circ - 33,69^circ = 270^circ = tfrac3pi2,rad

Passo 5

A velocidade angular é
omega = De<a phiDe<a t = tfrac3pi23,00 = pi2,rad/s

Passo 6

No MCU a aceleração centrípeta satisfaz
ac = omega^2,R Longrightarrow R = acomega^2 = raiz52l(tfracpi2r)^2 = raiz52tfracpi^24 = 4raiz52pi^2
Calculando numericamente,
R approx 4cdot 7,2119,870 approx 2,92;m

Resposta

O raio da trajetória é aproximadamente 2,92,m.

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