Uma roda gigante de parque de diversões é modelada como um disco uniforme de massa M=500 kg e raio R=5,0 m. Ela gira em torno de seu eixo central com uma velocidade angular constante de omega=0,40 rad / s. Despreze os efeitos do atrito e considere que toda a massa está distribuída de forma uniforme no disco.
a) Calcule o momento de inércia da roda gigante em relação ao seu eixo de rotação.
b) Determine o momento angular da roda gigante.
c) Se um freio for acionado e exercer um torque constante, reduzindo sua velocidade angular até parar em 20 segundos, qual será a variação do momento angular nesse intervalo?
d) Sabendo disso, qual é o torque aplicado pelo freio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma roda gigante modelada como um disco uniforme com massa M = 500, kg e raio R = 5,0, m. Ela gira com uma velocidade angular constante de omega = 0,40, rad/s. Vamos usar conceitos de momento de inércia, momento angular, torque e variação de momento angular para resolver os itens a) a d). Precisamos conhecer as fórmulas relacionadas a discos uniformes e movimento rotacional.

Passo 2

a) Calcular o momento de inércia da roda gigante em relação ao seu eixo de rotação.
Primeiro, lembramos que o momento de inércia ( I) de um disco uniforme em relação ao seu eixo central é dado por:
I = 12 M R^2
Onde:
  • M é a massa do disco.
  • R é o raio do disco.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
I = 12 times 500, kg times (5,0, m)^2
Calculando:
I = 12 times 500 times 25 = 12 times 12,500 = 6,250, kg,m^2

Passo 4

b) Determinar o momento angular da roda gigante.
O momento angular ( L) é dado por:
L = I omega
Onde:
  • I é o momento de inércia.
  • omega é a velocidade angular.

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
L = 6,250, kg,m^2 times 0,40, rad/s = 2,500, kg,m^2/s

Passo 6

c) Se um freio for acionado e exercer um torque constante, reduzindo sua velocidade angular até parar em 20 segundos, qual será a variação do momento angular nesse intervalo?
A variação do momento angular ( De<a L) é a diferença entre o momento angular final e inicial. Como a roda para, o Lf = 0. Então:
De<a L = Lf - Li = 0 - 2,500, kg,m^2/s = -2,500, kg,m^2/s

Passo 7

d) Sabendo disso, qual é o torque aplicado pelo freio?
O torque ( tau) está relacionado à variação do momento angular pelo tempo ( De<a t):
tau = De<a LDe<a t
Substituindo os valores:
tau = -2,500, kg,m^2/s20, s = -125, N,m
O sinal negativo indica que o torque está na direção oposta à rotação, ou seja, está desacelerando a roda.

Resposta

a) O momento de inércia da roda gigante é 6,250, kg,m^2.
b) O momento angular da roda gigante é 2,500, kg,m^2/s.
c) A variação do momento angular durante o intervalo é -2,500, kg,m^2/s.
d) O torque aplicado pelo freio é -125, N,m.

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