Uma roda gigante de parque de diversões é modelada como um disco uniforme de massa
e raio
. Ela gira em torno de seu eixo central com uma velocidade angular constante de
. Despreze os efeitos do atrito e considere que toda a massa está distribuída de forma uniforme no disco.
a) Calcule o momento de inércia da roda gigante em relação ao seu eixo de rotação.
b) Determine o momento angular da roda gigante.
c) Se um freio for acionado e exercer um torque constante, reduzindo sua velocidade angular até parar em 20 segundos, qual será a variação do momento angular nesse intervalo?
d) Sabendo disso, qual é o torque aplicado pelo freio?
a) Calcule o momento de inércia da roda gigante em relação ao seu eixo de rotação.
b) Determine o momento angular da roda gigante.
c) Se um freio for acionado e exercer um torque constante, reduzindo sua velocidade angular até parar em 20 segundos, qual será a variação do momento angular nesse intervalo?
d) Sabendo disso, qual é o torque aplicado pelo freio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma roda gigante modelada como um disco uniforme com massa
e raio
. Ela gira com uma velocidade angular constante de
. Vamos usar conceitos de momento de inércia, momento angular, torque e variação de momento angular para resolver os itens a) a d). Precisamos conhecer as fórmulas relacionadas a discos uniformes e movimento rotacional.
Passo 2
a) Calcular o momento de inércia da roda gigante em relação ao seu eixo de rotação.
Primeiro, lembramos que o momento de inércia (
) de um disco uniforme em relação ao seu eixo central é dado por:
Onde:
-
é a massa do disco. -
é o raio do disco.
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
Calculando:
Passo 4
b) Determinar o momento angular da roda gigante.
O momento angular (
) é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia. -
é a velocidade angular.
Passo 5
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
c) Se um freio for acionado e exercer um torque constante, reduzindo sua velocidade angular até parar em 20 segundos, qual será a variação do momento angular nesse intervalo?
A variação do momento angular (
) é a diferença entre o momento angular final e inicial. Como a roda para, o
. Então:
Passo 7
d) Sabendo disso, qual é o torque aplicado pelo freio?
O torque (
) está relacionado à variação do momento angular pelo tempo (
):
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que o torque está na direção oposta à rotação, ou seja, está desacelerando a roda.
Resposta
a) O momento de inércia da roda gigante é
.
b) O momento angular da roda gigante é
.
c) A variação do momento angular durante o intervalo é
.
d) O torque aplicado pelo freio é
.