E m t_{1}=2,00 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é \left(6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{j}}. Em \mathrm{t}_{2}=5,00 \mathrm{~s}, sua aceleração é \left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(-6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{j}}. (a) Calcule o ângulo entre as duas acelerações. (b) Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença \mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1} é menor que um período?

Passo 1

O enunciado dá a aceleração centrípeta de uma partícula em movimento circular uniforme em dois instantes t_{1}=2{,}00 s e t_{2}=5{,}00 s:
\vec a_{1} = (6{,}00\,\hat{\mathrm{i}} + 4{,}00\,\hat{\mathrm{j}})\,\mathrm{m/s^{2}}, \quad \vec a_{2} = (4{,}00\,\hat{\mathrm{i}} - 6{,}00\,\hat{\mathrm{j}})\,\mathrm{m/s^{2}}.
(a) Pede o ângulo entre essas acelerações, e para isso vamos usar produto escalar e norma de vetores.
(b) Pede o raio da trajetória sabendo que t_{2}-t_{1}<T (um período), e usamos as relações do MCU: \displaystyle a_{c}=\omega^{2}R e \Delta\theta=\omega\,\Delta t.

Passo 2

Para achar o ângulo \theta entre \vec a_{1} e \vec a_{2} usamos
\cos\theta = \frac{\vec a_{1}\cdot \vec a_{2}}{\|\vec a_{1}\|\;\|\vec a_{2}\|}.
O produto escalar é
\vec a_{1}\cdot \vec a_{2} = 6{,}00\cdot4{,}00 + 4{,}00\cdot(-6{,}00) = 24 - 24 = 0.
Como o numerador é zero, \cos\theta=0 e portanto
\theta = 90^\circ.

Passo 3

Em MCU a aceleração centrípeta gira junto com a partícula, então o ângulo girado entre t_{1} e t_{2} é \Delta\theta=90^\circ=\tfrac{\pi}{2}. Como \Delta t = t_{2}-t_{1}=3{,}00 s e \Delta\theta=\omega\,\Delta t, vem
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi/2}{3{,}00} = \frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para achar o raio usamos \displaystyle a_{c}=\omega^{2}R. A magnitude de \vec a_{1} (ou \vec a_{2}) é
\|\vec a_{1}\| = \sqrt{6{,}00^{2} + 4{,}00^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\,\mathrm{m/s^{2}}.
Logo,
R = \frac{a_{c}}{\omega^{2}} = \frac{2\sqrt{13}}{(\pi/6)^{2}} = \frac{2\sqrt{13}\times36}{\pi^{2}} \approx 26{,}3\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) 90^\circ
(b) 26{,}3\\ \mathrm{m}

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