O piloto de um avião mede a velocidade do vento em relação ao avião. Ele verifica que o módulo desta velocidade vale 25,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e forma 120^{\circ} com a direção e sentido da velocidade do avião em relação ao solo. Um observador situado no solo informa ao piloto, através do rádio, que a velocidade do vento em relação ao solo possui módulo igual a 45,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Ache o módulo da velocidade do avião em relação ao solo. (b) Determine o ângulo formado entre a velocidade do vento e a velocidade do avião, medido pelo observador situado no solo.

Passo 1

O piloto mede a velocidade do vento em relação ao avião \vec v_{w/p} = \vec v_w - \vec v_p com módulo r = 25{,}0 km/h e que faz \,120^\circ com a direção de \vec v_p. Um observador em solo informa que a velocidade do vento em relação ao solo tem módulo w = 45{,}0 km/h. Precisamos achar:
(a) o módulo v = \|\vec v_p\| da velocidade do avião em relação ao solo;
(b) o ângulo \varphi entre \vec v_w e \vec v_p medido pelo observador em solo.

Passo 2

Usamos o produto escalar para o ângulo de 120^\circ entre \vec v_{w/p} e \vec v_p:
(\vec v_w - \vec v_p)\cdot \vec v_p = |\vec v_w - \vec v_p|\,|\vec v_p|\cos 120^\circ = r\,v\cos 120^\circ = -\tfrac12\,r\,v.
Por outro lado,
(\vec v_w - \vec v_p)\cdot \vec v_p = \vec v_w\cdot \vec v_p - \vec v_p\cdot \vec v_p = w\,v\cos\varphi - v^2.
Logo obtemos a equação
w\,v\cos\varphi - v^2 = -\tfrac12\,r\,v.

Passo 3

Aplicamos também a lei dos cossenos ao triângulo vetorial \vec v_w - \vec v_p:
r^2 = \|\vec v_w - \vec v_p\|^2 = w^2 + v^2 - 2\,w\,v\cos\varphi.

Passo 4

Da equação do Passo 2 isolamos \cos\varphi:
w\,v\cos\varphi = v^2 - \tfrac12\,r\,v \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = \frac{v - \tfrac12\,r}{w}.
Substituindo em r^2 = w^2 + v^2 -2wv\cos\varphi
r^2 = w^2 + v^2 -2v\bigl(v - \tfrac12\,r\bigr) = w^2 - v^2 + r\,v
e, rearranjando,
v^2 - r\,v -\bigl(w^2 - r^2\bigr)=0.

Passo 5

Substituindo r=25 e w=45 km/h na equação
v^2 - 25\,v -\bigl(45^2-25^2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad v^2 -25\,v -1400=0,
temos
v = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 +4\cdot1400}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{6225}}{2}.
A solução positiva física é
v \approx \frac{25 +78{,}88}{2} \approx 51{,}9\text{ km/h}.

Passo 6

Usando \cos\varphi = (v - r/2)/w:
\cos\varphi = \frac{51{,}9 -12{,}5}{45} \approx 0{,}8767 \quad\Longrightarrow\quad \varphi \approx \operatorname{arccos}(0{,}8767) \approx 28{,}7^\circ.

Resposta

(a) v \approx 51{,}9 km/h
(b) \varphi \approx 28{,}7^\circ

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