Uma pessoa debruçada sobre um muro de uma passarela, deixa cair uma bola exatamente quando a dianteira de um caminhão passa bem abaixo do muro. Se o veículo está se movendo a 40,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e tem 10,0 \mathrm{~m} de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em relação ao caminhão para que a bola atinja a traseira do caminhão, (b) a trajetória descrita pela bola em relação a um observador situado na passarela, (c) a trajetória descrita pela bola em relação a um observador situado no caminhão.

Passo 1

O enunciado fala de uma bola solta do repouso sobre uma passarela quando a dianteira de um caminhão passa exatamente abaixo. A bola cai em queda livre de altura h e bate na traseira do caminhão, que se desloca com velocidade constante. O conteúdo é cinemática (queda livre e movimento uniforme) e também mudança de referencial por velocidade relativa. Para resolver vamos:
  1. Converter a velocidade de \tfrac{40,0\\ \mathrm{km}}{\mathrm{h}} para \mathrm{m/s}.
  2. Calcular o tempo que leva para a traseira do caminhão alcançar o ponto de queda (usando t = L/v).
  3. Usar a fórmula da queda livre \displaystyle h=\tfrac12\,g\,t^2.
  4. Escrever a trajetória no referencial da passarela.
  5. Escrever a trajetória no referencial do caminhão (movendo-se a velocidade relativa constante).

Passo 2

Converter a velocidade e achar o tempo até a traseira chegar sob a queda.
A velocidade do caminhão é
v = 40,0\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times\frac{1000\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{km}}\times\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}} = 11{,}111\\ \mathrm{m/s}.
Como o caminhão tem comprimento L=10{,}0\\ \mathrm{m}, o tempo para a traseira percorrer 10{,}0\\ \mathrm{m} a essa velocidade é
t = \frac{L}{v} = \frac{10{,}0}{11{,}111} \approx 0{,}900\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular a altura h usando a fórmula da queda livre sem velocidade inicial:
h = \frac12\,g\,t^2 \quad\text{com}\quad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},\\ t=0{,}900\\ \mathrm{s},
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h = \frac12\cdot9{,}8\cdot(0{,}900)^2 \approx 3{,}97\\ \mathrm{m}.

Passo 4

No referencial da passarela (inercial fixo no solo), a bola tem coordenada horizontal constante x(t)=0 e cai verticalmente segundo
y(t) = h - \tfrac12\,g\,t^2,
ou seja, descreve uma reta vertical para baixo, partindo de y(0)=h até y(t)=0.

Passo 5

No referencial do caminhão (também inercial, apenas com velocidade constante), a bola tem velocidade inicial horizontal -v. Chamando de x' a coordenada horizontal relativa ao caminhão,
x'(t) = -v\,t, \quad y(t) = h - \tfrac12\,g\,t^2.
Eliminando t = -\,x'/v, obtemos a forma cartesiana
y = h - \frac{g}{2\,v^2}\,x'^2,
que é uma parábola virada para baixo no plano (x',y).

Resposta

(a) h \approx 3{,}97\\ \mathrm{m}.
(b) No referencial da passarela, a trajetória é uma reta vertical
x(t)=0,\qquad y(t)=3{,}97 - \tfrac12\,(9{,}8)\,t^2.
(c) No referencial do caminhão, a trajetória é uma parábola
y = 3{,}97 \;-\;\frac{9{,}8}{2\,(11{,}111)^2}\,x'^2.

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