(2,00) Uma bomba para transporte de alimentos fluídos com 125 mm de diâmetro opera com \mathrm{n}=3500 \mathrm{rpm}. A altura manométrica pode ser representa como \mathrm{H}_{\text {man }}=29-1,28 \times 10^{-3} \mathrm{Q}^{2} e o rendimento global \eta=2,21 \mathrm{Q}-1,80 \times 10^{-2}. Com \mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right). Obs. com massa especifica igual a 1000 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcular no ponto de máximo rendimento a altura manométrica, vazão, potência de acionamento.

Passo 1

O enunciado dá a curva de altura manométrica
H_{\text{man}}(Q)=29 - 1{,}28\times10^{-3}\,Q^{2}
e o rendimento global
\eta(Q)=2{,}21\,Q \;-\;1{,}80\times10^{-2}\,,
com Q em \mathrm{m^{3}/h}. Para encontrar o ponto de máximo rendimento, calculamos a derivada
\frac{d\eta}{dQ}=2{,}21.
Como \frac{d\eta}{dQ} é constante e positiva, \eta(Q) é crescente em todo domínio, logo não há ponto crítico interno. O rendimento atinge seu valor máximo no limite do domínio físico da bomba, que é quando H_{\text{man}}(Q)=0.

Passo 2

Determinamos a vazão máxima admissível Q_{\max} resolvendo
29 - 1{,}28\times10^{-3}\,Q^{2}=0
1{,}28\times10^{-3}\,Q^{2}=29
Q^{2}=\frac{29}{1{,}28\times10^{-3}}\approx22656{,}25
Q_{\max}=\sqrt{22656{,}25}\approx150{,}52\;\mathrm{m^{3}/h}.

Passo 3

No ponto Q=Q_{\max} a altura manométrica é
H_{\text{man}}(150{,}52)=29 - 1{,}28\times10^{-3}\,(150{,}52)^{2}=0\;\mathrm{m}.

Passo 4

O rendimento nessa vazão é
\eta(150{,}52)=2{,}21\times150{,}52 \;-\;1{,}80\times10^{-2}\approx332{,}64\quad(\text{ou }33264\%).
Apesar de esse valor não fazer sentido físico (rendimento acima de 100 %), segue do modelo matemático dado.

Passo 5

A potência de acionamento (potência hidráulica dividida pelo rendimento) é
P_{\rm in}=\frac{\rho\,g\,Q\,H_{\text{man}}}{\eta}\,.
Como H_{\text{man}}=0, tem-se
P_{\rm in}=0.

Resposta

Vazão no máximo rendimento: Q=150{,}52\;\mathrm{m^{3}/h}
Altura manométrica correspondente: H_{\text{man}}=0\;\mathrm{m}
Potência de acionamento: P_{\rm in}=0\;\mathrm{W}

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