(2,00) Determinar a perda de carga por \downarrow \mathrm{km} de comprimento de uma tubulação de aço com diâmetro de 45 cm . O fluido tem viscosidade cinemática 1,06 \times 10^{-5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} A vazão é de 190 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Considere rugosidade de 0,045 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga (carga hidráulica perdida, em metros de coluna de fluido) por quilômetro de uma tubulação de aço de diâmetro interno D=0,45\;\mathrm{m}, transportando vazão Q=190\;\mathrm{L/s} de um fluido cuja viscosidade cinemática é \nu=1{,}06\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s} e rugosidade absoluta \epsilon=0{,}045\;\mathrm{mm}.
Conteúdo: teoria de escoamento em dutos, cálculo de número de Reynolds, fator de atrito de Darcy–Weisbach (usando fórmula explícita de Swamee–Jain) e fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga.

Passo 2

Calcular a velocidade média V no tubo a partir de
A = \frac{\pi D^2}{4},
V = \frac{Q}{A}.
Primeiro convertemos Q=190\;\mathrm{L/s}=0{,}19\;\mathrm{m^3/s}.
A = \frac{\pi\,(0{,}45)^2}{4} \approx 0{,}1590\;\mathrm{m^2},
V = \frac{0{,}19}{0{,}1590}\approx1{,}195\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu}.
Substituindo
\mathrm{Re} = \frac{1{,}195\cdot0{,}45}{1{,}06\times10^{-5}} \approx5{,}07\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento.

Passo 4

Determinar o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain (válida para escoamento turbulento em tubos rugosos):
f = \frac{0{,}25}{\Bigl[\log_{10}\Bigl(\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\Bigr]^2}.
Aqui
\frac{\epsilon}{D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{0{,}45}=1{,}0\times10^{-4}, \quad \mathrm{Re}^{0{,}9}\approx1{,}72\times10^{4},
\frac{\epsilon}{3{,}7D}\approx2{,}70\times10^{-5}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx3{,}34\times10^{-4},
\log_{10}\bigl(2{,}70\times10^{-5}+3{,}34\times10^{-4}\bigr)\approx-3{,}442,
f \approx \frac{0{,}25}{(-3{,}442)^2}\approx0{,}0211.

Passo 5

Calcular a perda de carga por Darcy–Weisbach em comprimento L=1000\;\mathrm{m}:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2}.
\frac{L}{D} = \frac{1000}{0{,}45}\approx2222{,}2, \quad \frac{V^2}{2g} = \frac{(1{,}195)^2}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}0728\;\mathrm{m},
h_f = 0{,}0211\cdot2222{,}2\cdot0{,}0728 \approx3{,}41\;\mathrm{m}.

Resposta

A perda de carga é aproximadamente 3{,}41\;\mathrm{m} de coluna de fluido por quilômetro de tubulação.

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