(2,00) (a) Descreva o experimento de Rutherford e como ele levou ao modelo atual da estrutura do átomo. Como ele foi capaz de estimar o número de prótons em um núcleo a partir do espalhamento das partículas alfa? (b) Considerando o átomo de { }^{23} \mathrm{Na} e dado que o raio do núcleo é 3,04 \times 10^{-15} \mathrm{~m} e sua massa é 3,82 \times 10^{-23} \mathrm{~g}, calcule a densidade do núcleo em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. (c) Sendo o raio do átomo de { }^{23} \mathrm{Na} igual a 186 pm , calcule a densidade do espaço ocupado pelos elétrons no átomo de sódio. (d) Os seus resultados corroboram com o modelo atômico de Rutherford?
Dados: massa do elétron m_{e^{-}}=9,1095 \times 10^{-28} g; número atômico do sódio z_{N a}=11.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) descrever o experimento de Rutherford e como ele conduziu ao modelo nuclear do átomo, além de explicar como estimou o número de prótons no núcleo; (b) calcular a densidade do núcleo de {}^{23}\mathrm{Na} a partir de sua massa e raio dados; (c) calcular a densidade do espaço ocupado pelos elétrons no átomo de sódio, usando seu raio atômico e a massa total dos elétrons; (d) avaliar se os resultados concordam com o modelo atômico de Rutherford.

Passo 2

No experimento de Rutherford, feixes de partículas alfa (núcleos de hélio) eram disparados contra uma lâmina de ouro muito fina. Observou-se que a maior parte dos alfas atravessava sem desvio, mas algumas iam para ângulos grandes (até de volta, quase 180^\circ). Isso só se explica se a carga positiva e quase toda a massa do átomo estiverem concentradas em um núcleo muito pequeno, rodeado por espaço vazio ocupado pelos elétrons. Foi assim que Rutherford propôs o modelo do átomo com núcleo central muito denso.

Passo 3

Para estimar o número de prótons Z no núcleo, Rutherford usou a fórmula de espalhamento Coulômbico diferencial, que relaciona a razão entre o fluxo de partículas espalhadas a um ângulo \theta e as cargas envolvidas. Ajustando os dados experimentais à expressão
\frac{d\sigma}{d\Omega} \;\propto\; \frac{Z^2}{E_\alpha^2\sin^4(\theta/2)},
onde E_\alpha é a energia das partículas alfa, ele extraiu Z, número de cargas positivas (prótons) no núcleo.

Passo 4

Agora calculamos a densidade do núcleo de {}^{23}\mathrm{Na}.
O raio dado é
r_{\rm nuc} = 3,04\times10^{-15}\,\mathrm{m} = 3,04\times10^{-13}\,\mathrm{cm}.
O volume esférico vale
V_{\rm nuc} = \frac{4}{3}\pi r_{\rm nuc}^3.
Substituindo,
V_{\rm nuc} = \frac{4}{3}\pi\bigl(3,04\times10^{-13}\bigr)^3 \approx 1{,}18\times10^{-37}\,\mathrm{cm^3}.
A massa do núcleo é m_{\rm nuc}=3{,}82\times10^{-23}\,\mathrm{g}. Logo,
\rho_{\rm nuc} = \frac{m_{\rm nuc}}{V_{\rm nuc}} \approx \frac{3{,}82\times10^{-23}}{1{,}18\times10^{-37}} \approx 3{,}24\times10^{14}\,\mathrm{g/cm^3}.

Passo 5

Para a nuvem eletrônica, usamos o raio atômico
r_{\rm átomo}=186\,\mathrm{pm}=1{,}86\times10^{-10}\,\mathrm{m}=1{,}86\times10^{-8}\,\mathrm{cm},á
e a massa total dos z_{Na}=11 elétrons:
m_{e^-}^{\rm total} = 11\times 9{,}1095\times10^{-28}\,\mathrm{g} \approx 1{,}00\times10^{-26}\,\mathrm{g}.
O volume esférico da “casca” eletrônica é
V_{\rm átomo} = \frac{4}{3}\pi r_{\rm átomo}^3 \approx \frac{4}{3}\pi\bigl(1{,}86\times10^{-8}\bigr)^3 \approx 2{,}69\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3}.áá
Então a densidade eletrônica é
\rho_e = \frac{m_{e^-}^{\rm total}}{V_{\rm átomo}} \approx \frac{1{,}00\times10^{-26}}{2{,}69\times10^{-23}} \approx 3{,}7\times10^{-4}\,\mathrm{g/cm^3}.á

Passo 6

Comparando, o núcleo tem densidade da ordem de 10^{14}\,\mathrm{g/cm^3}, enquanto a nuvem eletrônica fica em torno de 10^{-4}\,\mathrm{g/cm^3}. A esmagadora diferença mostra que quase toda a massa está concentrada num volume ínfimo, com os elétrons ocupando um espaço muito maior e quase vazio. Isso corrobora perfeitamente o modelo nuclear de Rutherford.

Resposta

(a) O experimento de espalhamento de partículas alfa em lâminas finas mostrou que a carga positiva e quase toda a massa do átomo concentram-se num núcleo minúsculo, explicando os raros desvios grandes. A partir da fórmula de espalhamento Coulômbico, ele ajustou os dados e obteve o número de prótons Z.
(b) \rho_{\rm nuc}\approx 3{,}24\times10^{14}\,\mathrm{g/cm^3}.
(c) \rho_e\approx 3{,}7\times10^{-4}\,\mathrm{g/cm^3}.
(d) Sim. A enorme diferença de densidade confirma que o átomo é quase vazio, com massa concentrada num núcleo pequeno, exatamente como propôs Rutherford.

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