( 2,00 pontos). Um sistema de bombeamento é utilizado para bombear água com uma vazão de 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A tubulação (de aspiração e recalque) tem uma extensão de 200 m com o mesmo diâmetro e rugosidade absoluta igual a 0,4 \mathrm{~mm}. A altura estática de aspiração é igual a 3,6 \mathrm{~m} e altura estática de recalque é igual a 25 m . Considere que todos os acessórios (de aspiração e recalque) apresentam um comprimento equivalente igual a 50 \% do comprimento da tubulação. Considere a velocidade na tubulação igual a 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Em tais condições do sistema determine a potência em kW da bomba requerida considerando um rendimento global de 70 \%. Considere a massa específica da água igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade cinemática igual a 1,127 \times 10^{-6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
1,02 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica da bomba (em kW) para bombear água com vazão de 100\\ \mathrm{m^3/h} elevando-a de uma altura estática de aspiração de 3{,}6\\ \mathrm{m} e de recalque de 25\\ \mathrm{m}, em tubulação de comprimento total de 200\\ \mathrm{m}, diâmetro uniforme, rugosidade absoluta 0{,}4\\ \mathrm{mm}, velocidade de escoamento 1{,}0\\ \mathrm{m/s}, acessórios com comprimento equivalente igual a 50\% do comprimento da tubulação e rendimento global da bomba de 70\%. Para resolver vamos:
  1. Converter a vazão e determinar o diâmetro da tubulação.
  2. Calcular o número de Reynolds e o fator de atrito de Darcy–Weisbach.
  3. Avaliar o comprimento equivalente total da tubulação (incluso acessórios) e a perda de carga por atrito.
  4. Somar as alturas estáticas e as perdas de carga para obter a altura manométrica total.
  5. Calcular a potência hidráulica e dividir pelo rendimento para obter a potência elétrica.

Passo 2

Converter a vazão e determinar o diâmetro.
A vazão volumétrica é
Q = \frac{100\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}} = 0{,}02778\\ \mathrm{m^3/s}.
Como a velocidade na tubulação é v=1{,}0\\ \mathrm{m/s}, a área da seção reta é
A = \frac{Q}{v} = \frac{0{,}02778}{1} = 0{,}02778\\ \mathrm{m^2}.
O diâmetro D satisfaz \displaystyle A = \frac{\pi D^2}{4}, logo
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot0{,}02778}{\pi}} \approx 0{,}188\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e o fator de atrito.
A viscosidade cinemática dada é \nu = 1{,}127\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Assim
\mathrm{Re} = \frac{vD}{\nu} = \frac{1{,}0\cdot0{,}188}{1{,}127\times10^{-6}} \approx 1{,}67\times10^5,
o que indica escoamento turbulento. A rugosidade relativa é
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}0004}{0{,}188}\approx0{,}00213.
Pelo método de Colebrook–White itera-se e obtém-se
f \approx 0{,}0248.

Passo 4

Determinar o comprimento equivalente total e a perda de carga por atrito.
O comprimento da tubulação é L=200\\ \mathrm{m}. Os acessórios somam 50\% desse comprimento, isto é, mais 100\\ \mathrm{m} equivalentes. Logo o comprimento total equivalente é
L_{\rm eq} = 200 + 100 = 300\\ \mathrm{m}.
A perda de carga por atrito é dada por
h_f = f\,\frac{L_{\rm eq}}{D}\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}0248\;\frac{300}{0{,}188}\;\frac{1^2}{2\cdot9{,}81} \approx 2{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a altura manométrica total e a potência requerida.
A soma das alturas estáticas de aspiração e recalque é
H_{\rm estática} = 3{,}6 + 25 = 28{,}6\\ \mathrm{m}.á
A altura manométrica total é
H = H_{\rm estática} + h_f = 28{,}6 + 2{,}02 = 30{,}62\\ \mathrm{m}.á
A potência hidráulica é
P_{\rm h} = \rho\,g\,Q\,H = 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}02778\cdot30{,}62 \approx 8{,}34\\ \mathrm{kW}.
Considerando rendimento global \eta = 0{,}70, a potência elétrica da bomba é
P_{\rm el} = \frac{P_{\rm h}}{\eta} = \frac{8{,}34}{0{,}70} \approx 11{,}9\\ \mathrm{kW}.

Resposta

A potência elétrica requerida é aproximadamente 11{,}9\\ \mathrm{kW}.

Exercícios relacionados