Calcule a transformada inversa de Laplace
justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.
Solução.
Observação: Fórmulas prontas sem a explicação completa não foram consideradas.
Denotar
, em que
Escrever a propriedade usada (Propriedade (21) da tabela):
(Ideias com propriedades alternativas foram analisadas caso a caso).
(Pontuação: 0.5)
Calculou a derivada de
corretamente:
(Pontuação: 0.3)
Portanto,
(Pontuação: 0.5)
Reconheceu a transformada conhecida (Propriedade (9) da tabela):
Comparando, com
e
, obtemos
Assim
Pela unicidade da transformada de Laplace, concluímos que
(Pontuação: 1.0)
Concluiu dividindo por
:
(Pontuação: 0.2)
Denotar
(Pontuação: 0.5)
Calculou a derivada de
Reconheceu a transformada conhecida (Propriedade (9) da tabela):
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace
Denotar
Informações dadas:
- A função no domínio de
é . - O objetivo é encontrar
tal que . - É exigido justificar todas as propriedades da tabela de transformadas de Laplace usadas.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos relacionar derivadas em
de
com transformadas de funções envolvendo
, usando a propriedade que conecta
com
. Para isso será preciso justificar essa propriedade a partir da definição da transformada. Depois reconhecemos a expressão obtida como uma transformada conhecida (a de
) e usamos unicidade para recuperar
.
Passo 3
Provar e justificar a propriedade usada: partir da definição da transformada de Laplace,
Diferenciando em
sob o sinal de integral (justificável quando
for de ordem exponencial; isso faz parte das hipóteses usuais da tabela):
Reconhecendo a integral, obtemos a propriedade (justificada):
Reescrevendo de forma conveniente para usar adiante:
Passo 4
Calcular explicitamente a derivada
com
. Usar a regra da cadeia:
Calcular a derivada interna:
Logo,
Colocar num denominador comum simplifica:
Passo 5
Aplicar a propriedade do Passo 3:
. Assim encontramos
Passo 6
Reconhecer o lado direito como transformação conhecida. Justificar a transformada de
e a propriedade de deslocamento exponencial:
- Primeiro, a transformada de
é (derivável por integração):
- A propriedade de deslocamento (teorema do deslocamento no domínio
) diz que, para real,
onde
. Aplicando com
e
obtemos
Escolhendo
,
Portanto a expressão encontrada no Passo 5 pode ser escrita como
Passo 7
Comparando com o Passo 5:
Pela propriedade de unicidade da transformada de Laplace (se duas funções de
têm a mesma transformada para um semi-plano de
, então as funções coincidem quase sempre), concluímos
Passo 8
Isolar
dividindo por
(observando que essa divisão só faz sentido para
; em
existe uma singularidade removível que pode ser tratado por limite):
Comentário adicional (didático): como
, a expressão tem uma singularidade removível em
e o limite
estenderia
continuamente em
. Mas a transformada inversa é usualmente dada para
.