Calcule a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\arctan \left(\frac{5}{s+2}\right)\right\}
justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.

Solução.

Observação: Fórmulas prontas sem a explicação completa não foram consideradas.
Denotar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t), em que
F(s)=\arctan \left(\frac{5}{s+2}\right)
Escrever a propriedade usada (Propriedade (21) da tabela):
\mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=\frac{d}{d s} F(s)
(Ideias com propriedades alternativas foram analisadas caso a caso).
(Pontuação: 0.5)
Calculou a derivada de F(s) corretamente:
\frac{d}{d s} F(s)=\frac{d}{d s}\left[\arctan \left(\frac{5}{s+2}\right)\right]=\frac{1}{1+\left(\frac{5}{s+2}\right)^{2}} \cdot \frac{d}{d s}\left(\frac{5}{s+2}\right)
(Pontuação: 0.3)
=\frac{1}{1+\frac{25}{(s+2)^{2}}} \cdot\left(-\frac{5}{(s+2)^{2}}\right)=-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}
Portanto,
\frac{d}{d s} F(s)=-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}
(Pontuação: 0.5)
Reconheceu a transformada conhecida (Propriedade (9) da tabela):
\mathcal{L}\left\{e^{a t} \sin (b t)\right\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
Comparando, com a=-2 e b=5, obtemos
-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}=-\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \sin (5 t)\right\}(s)
Assim
\frac{d}{d s} F(s)=-\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \sin (5 t)\right\}(s)
Pela unicidade da transformada de Laplace, concluímos que
\mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=-\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \sin (5 t)\right\}(s) \quad \Longrightarrow \quad-t f(t)=-e^{-2 t} \sin (5 t)
(Pontuação: 1.0)
Concluiu dividindo por -t :
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=\frac{e^{-2 t} \sin (5 t)}{t}, \quad t>0
(Pontuação: 0.2)

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right)\right\}.
Denotar
F(s)=\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right) \qquad\text{e}\qquad f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=\arctan\!\big(5/(s+2)\big).
  • O objetivo é encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s).
  • É exigido justificar todas as propriedades da tabela de transformadas de Laplace usadas.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos relacionar derivadas em s de F(s) com transformadas de funções envolvendo t, usando a propriedade que conecta dF/ds com \mathcal{L}\{-t f(t)\}. Para isso será preciso justificar essa propriedade a partir da definição da transformada. Depois reconhecemos a expressão obtida como uma transformada conhecida (a de e^{at}\sin(bt)) e usamos unicidade para recuperar f(t).

Passo 3

Provar e justificar a propriedade usada: partir da definição da transformada de Laplace,
F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Diferenciando em s sob o sinal de integral (justificável quando f for de ordem exponencial; isso faz parte das hipóteses usuais da tabela):
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-s t}\big)\,f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} (-t)e^{-s t} f(t)\,dt.
Reconhecendo a integral, obtemos a propriedade (justificada):
\frac{d}{ds}F(s)=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Reescrevendo de forma conveniente para usar adiante:
\mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=\frac{d}{ds}F(s).

Passo 4

Calcular explicitamente a derivada \dfrac{d}{ds}F(s) com F(s)=\arctan\!\big(\dfrac{5}{s+2}\big). Usar a regra da cadeia:
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\left[\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right)\right] =\frac{1}{1+\left(\frac{5}{s+2}\right)^{2}}\cdot\frac{d}{ds}\left(\frac{5}{s+2}\right).
Calcular a derivada interna:
\frac{d}{ds}\left(\frac{5}{s+2}\right)=-\frac{5}{(s+2)^{2}}.
Logo,
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{1}{1+\dfrac{25}{(s+2)^{2}}}\cdot\left(-\frac{5}{(s+2)^{2}}\right).
Colocar num denominador comum simplifica:
\frac{d}{ds}F(s)=-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.

Passo 5

Aplicar a propriedade do Passo 3: \mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=\dfrac{d}{ds}F(s). Assim encontramos
\mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.

Passo 6

Reconhecer o lado direito como transformação conhecida. Justificar a transformada de \sin e a propriedade de deslocamento exponencial:
  • Primeiro, a transformada de \sin(bt) é (derivável por integração):
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(bt)\,dt=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
  • A propriedade de deslocamento (teorema do deslocamento no domínio s) diz que, para a real,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s). Aplicando com g(t)=\sin(bt) e a=-2 obtemos
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+2)^{2}+b^{2}}.
Escolhendo b=5,
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s)=\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.
Portanto a expressão encontrada no Passo 5 pode ser escrita como
-\frac{5}{(s+2)^{2}+25}=-\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s).

Passo 7

Comparando com o Passo 5:
\mathcal{L}\{-t f(t)\}(s)=-\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s).
Pela propriedade de unicidade da transformada de Laplace (se duas funções de t têm a mesma transformada para um semi-plano de s, então as funções coincidem quase sempre), concluímos
-t f(t)=-e^{-2 t}\sin(5 t),\qquad t>0.

Passo 8

Isolar f(t) dividindo por -t (observando que essa divisão só faz sentido para t>0; em t=0 existe uma singularidade removível que pode ser tratado por limite):
f(t)=\frac{e^{-2 t}\sin(5 t)}{t},\qquad t>0.
Comentário adicional (didático): como \lim_{t\to0}\dfrac{\sin(5t)}{t}=5, a expressão tem uma singularidade removível em t=0 e o limite f(0)=5 estenderia f continuamente em 0. Mas a transformada inversa é usualmente dada para t>0.

Resposta

\frac{e^{-2 t}\sin(5 t)}{t},\quad t>0

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