A partir dos dados apresentados:
Um estudo prospectivo para a avaliação do potencial de geração de energia eólica numa região mapeou, em um ensaio inicial, o campo de deslocamentos das partículas em suspensão no ar no plano horizontal xy, concluindo que este poderia ser descrito (durante os 30 min de ensaio) por equações do tipo:
\begin{gathered} x=x_{0}+U_{0} t \\\ y=y_{0}+\frac{V_{0}}{D} y_{0} t \end{gathered}
Onde x e y representam a posição em metros de uma partícula genérica em suspensão segundo um sistema de coordenadas arbitrário definido no estudo; x_{0} e y_{0} representam a posição inicial da partícula; t é o tempo decorrido em segundos; e U_{0} e \frac{V_{0}}{D} são constantes dadas em \mathrm{m} / \mathrm{s} e (\mathrm{m} / \mathrm{s}) / \mathrm{m}, respectivamente, que descrevem o campo de deslocamentos.
A fim de avaliar o campo de velocidade do vento o engenheiro responsável derivou o campo de deslocamentos, obtendo:
\begin{gathered} u=\frac{d x}{d t}=U_{0} \\\ v=\frac{d y}{d t}=\frac{V_{0}}{D} \cdot \frac{y}{1+\frac{V_{0}}{D} t} \end{gathered}
A calibração do modelo forneceu U_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \frac{V_{0}}{D}=0,015(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) / \mathrm{m}.
a) Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t =0 \mathrm{~s}.
b) Variando a constante de integração, represente graficamente as linhas de corrente. Considere valores de x variando entre 200 m e 3000 m com um passo de 200 m . Use o Microsoft Excel para a auxiliar a construção gráfica ou outro software de preferência.
c) Repita (a) e (b) para avaliar as linhas de correte no fim do experimento ( \mathrm{t}=1800 \mathrm{~s} ). Descreva o que aconteceu.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de deslocamentos
x = x_0 + U_0\,t,\quad y = y_0 + \frac{V_0}{D}\,y_0\,t
e o campo de velocidades
u = \frac{dx}{dt} = U_0,\quad v = \frac{dy}{dt} = \frac{V_0}{D}\,\frac{y}{1 + \frac{V_0}{D}\,t}.
Queremos encontrar as linhas de corrente (ou streamlines), que satisfazem, para cada instante fixo t, a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{v}{u}.
Para isso vamos:
– em (a) tomar t=0;
– em (b) integrar e variar a constante de integração para traçar as curvas no plano xy;
– em (c) repetir para t=1800 s e comentar o que muda.

Passo 2

(a) Streamlines em t=0.
Quando t=0 temos
v(0)=\frac{V_0}{D}\,\frac{y}{1+0}=\frac{V_0}{D}\,y, \quad u=U_0.
Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{v}{u} =\frac{\frac{V_0}{D}\,y}{U_0} =\frac{V_0}{U_0\,D}\;y.
Integrando
\frac{1}{y}\,dy =\frac{V_0}{U_0\,D}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{V_0}{U_0\,D}\,x + C
e assim obtemos, usando U_0=10 m/s e \tfrac{V_0}{D}=0,015 (m/s)/m,
\frac{V_0}{U_0\,D} =\frac{0,015}{10} =0,0015,
portanto
\boxed{y(x)=C\,\exp\bigl(0,0015\,x\bigr).}

Passo 3

(b) Gráfico das linhas de corrente em t=0.
– A família de linhas é
y(x)=C\,e^{0,0015\,x},
onde C é a constante de integração (nível de partida em x=0).
– Para traçar no Excel (ou outro software), siga:
  1. Defina um vetor de x de 200 a 3000 m com passo de 200 m.
  2. Escolha vários valores de C (por exemplo C=100,200,300,\dots m).
  3. Calcule y_i = C\,\exp(0,0015\,x_i) para cada par (x_i,C).
  4. Plote as curvas y versus x.
    – O gráfico mostra curvas exponenciais que crescem cada vez mais acentuadas à medida que x aumenta.

Passo 4

(c) Streamlines em t=1800 s.
Agora
v = \frac{V_0}{D}\,\frac{y}{1+\frac{V_0}{D}\,t} =\frac{0,015\,y}{1+0,015\cdot1800} =\frac{0,015\,y}{1+27} =\frac{0,015}{28}\,y
e ainda u=10. Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{v}{u} =\frac{\tfrac{0,015}{28}\,y}{10} =\frac{0,015}{280}\,y \approx5{,}357\times10^{-5}\,y.
Integramos
\frac{1}{y}\,dy =5{,}357\times10^{-5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln y = 5{,}357\times10^{-5}\,x + C'
resultando em
\boxed{y(x)=C'\,\exp\bigl(5{,}357\times10^{-5}\,x\bigr).}
– Ao traçar para os mesmos x e valores de C', vê-se que as curvas tornam-se quase retas (o coeficiente exponencial é muito pequeno).
– Conclusão: no início ( t=0) o escoamento tem forte variação exponencial em y conforme x cresce; ao final ( t=1800 s) essas variações ficam praticamente lineares, indicando que o fluxo de vento se tornou mais homogêneo.

Resposta

a) Em t=0:
y(x)=C\,e^{0,0015\,x}.
b) Para diversos C e x de 200 a 3000 m (passo 200 m), as curvas
y(x)=C\,\exp(0,0015\,x)
podem ser obtidas em Excel, mostranto crescimento exponencial.
c) Em t=1800 s:
y(x)=C'\,\exp\bigl(5{,}357\times10^{-5}\,x\bigr),
curvas quase retas, indicando escoamento quase uniforme.

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