A partir dos dados apresentados:
Um estudo prospectivo para a avaliação do potencial de geração de energia eólica numa região mapeou, em um ensaio inicial, o campo de deslocamentos das partículas em suspensão no ar no plano horizontal xy, concluindo que este poderia ser descrito (durante os 30 min de ensaio) por equações do tipo:
Onde
e
representam a posição em metros de uma partícula genérica em suspensão segundo um sistema de coordenadas arbitrário definido no estudo;
e
representam a posição inicial da partícula;
é o tempo decorrido em segundos; e
e
são constantes dadas em
e
, respectivamente, que descrevem o campo de deslocamentos.
A fim de avaliar o campo de velocidade do vento o engenheiro responsável derivou o campo de deslocamentos, obtendo:
A calibração do modelo forneceu
e
.
a) Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t
.
b) Variando a constante de integração, represente graficamente as linhas de corrente. Considere valores de x variando entre 200 m e 3000 m com um passo de 200 m . Use o Microsoft Excel para a auxiliar a construção gráfica ou outro software de preferência.
c) Repita (a) e (b) para avaliar as linhas de correte no fim do experimento (
). Descreva o que aconteceu.
Um estudo prospectivo para a avaliação do potencial de geração de energia eólica numa região mapeou, em um ensaio inicial, o campo de deslocamentos das partículas em suspensão no ar no plano horizontal xy, concluindo que este poderia ser descrito (durante os 30 min de ensaio) por equações do tipo:
a) Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t
b) Variando a constante de integração, represente graficamente as linhas de corrente. Considere valores de x variando entre 200 m e 3000 m com um passo de 200 m . Use o Microsoft Excel para a auxiliar a construção gráfica ou outro software de preferência.
c) Repita (a) e (b) para avaliar as linhas de correte no fim do experimento (
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de deslocamentos
e o campo de velocidades
Queremos encontrar as linhas de corrente (ou streamlines), que satisfazem, para cada instante fixo
, a equação diferencial
Para isso vamos:
– em (a) tomar ;
– em (b) integrar e variar a constante de integração para traçar as curvas no plano ;
– em (c) repetir para s e comentar o que muda.
– em (a) tomar
– em (b) integrar e variar a constante de integração para traçar as curvas no plano
– em (c) repetir para
Passo 2
(a) Streamlines em
.
Quando temos
Quando
Logo
Integrando
e assim obtemos, usando
m/s e
(m/s)/m,
portanto
Passo 3
(b) Gráfico das linhas de corrente em
.
– A família de linhas é
– A família de linhas é
onde
é a constante de integração (nível de partida em
).
– Para traçar no Excel (ou outro software), siga:
– Para traçar no Excel (ou outro software), siga:
- Defina um vetor de
de a m com passo de m. - Escolha vários valores de
(por exemplo m). - Calcule
para cada par . - Plote as curvas
versus .
– O gráfico mostra curvas exponenciais que crescem cada vez mais acentuadas à medida queaumenta.
Passo 4
(c) Streamlines em
s.
Agora
Agora
e ainda
. Logo
Integramos
resultando em
– Ao traçar para os mesmos
e valores de
, vê-se que as curvas tornam-se quase retas (o coeficiente exponencial é muito pequeno).
– Conclusão: no início ( ) o escoamento tem forte variação exponencial em
conforme
cresce; ao final (
s) essas variações ficam praticamente lineares, indicando que o fluxo de vento se tornou mais homogêneo.
– Conclusão: no início (
Resposta
a) Em
:
b) Para diversos
e
de 200 a 3000 m (passo 200 m), as curvas
podem ser obtidas em Excel, mostranto crescimento exponencial.
c) Em
s:
curvas quase retas, indicando escoamento quase uniforme.