(1.) (1.00p) Dada a sequência
an=3 n+56 n-4
(a) Liste os primeiros cinco termos.
(b) Calcule lim n infty an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência definida por an = 3n + 56n - 4 . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sequências numéricas e limites. Para resolver as partes (a) e (b) do exercício, vamos precisar calcular termos específicos da sequência e entender como encontrar o limite quando n tende ao infinito.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): listar os primeiros cinco termos da sequência.
Uma sequência é basicamente uma lista de números organizada de acordo com uma regra. No nosso caso, a regra é an = 3n + 56n - 4 , onde n representa a posição do termo na sequência.
Vamos calcular:
  • Para n = 1 :
a1 = 3(1) + 56(1) - 4 = 3 + 56 - 4 = 82 = 4
  • Para n = 2 :
a2 = 3(2) + 56(2) - 4 = 6 + 512 - 4 = 118
  • Para n = 3 :
a3 = 3(3) + 56(3) - 4 = 9 + 518 - 4 = 1414 = 1
  • Para n = 4 :
a4 = 3(4) + 56(4) - 4 = 12 + 524 - 4 = 1720
  • Para n = 5 :
a5 = 3(5) + 56(5) - 4 = 15 + 530 - 4 = 2026 = 1013

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito, ou seja, limn infty an .
Para encontrar esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é 3n e no denominador é 6n .
Quando n fica muito grande, os termos constantes (como +5 e -4) se tornam irrelevantes comparados aos termos que envolvem n . Portanto, o limite será a razão dos coeficientes desses termos de maior grau.
Assim:
limn infty 3n + 56n - 4 = 36 = 12

Resposta

(a) Os cinco primeiros termos da sequência são:
a1 = 4, a2 = 118, a3 = 1, a4 = 1720, a5 = 1013
(b) O limite da sequência quando n tende ao infinito é:
limn infty an = 12

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