Em cada caso, determine se a série converge ou diverge. Se for convergente, calcule a soma.
sumn=1^infty 3^n+2^n9^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty3^n+2^n9^n
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, calcular a soma. O conteúdo que vamos usar é o de séries geométricas e a fórmula
sumn=1^inftyr^n=r1-r,para |r|<1

Passo 2

Observe que
3^n+2^n9^n =(39)^n+(29)^n
Logo, a série se separa em
sumn=1^infty3^n+2^n9^n =sumn=1^inftyl(tfrac39r)^n +sumn=1^inftyl(tfrac29r)^n

Passo 3

Para cada parte, os termos são da forma r^n com
r1=tfrac39=tfrac13, r2=tfrac29
Como |r1|<1 e |r2|<1, ambas as séries geométricas convergem.

Passo 4

Usando a fórmula da soma de série geométrica para n começando em 1, temos
sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n =tfrac131-tfrac13 =tfrac13tfrac23 =tfrac12,
sumn=1^inftyl(tfrac29r)^n =tfrac291-tfrac29 =tfrac29tfrac79 =tfrac27

Passo 5

Somando as duas contribuições, a soma total é
tfrac12+tfrac27 =714+414 =1114

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac1114.

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