Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x^2+y^2 sujeito à restrição x^2-2 x+y^2-4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os extremos (máximo e mínimo) de
f(x,y)=x^2+y^2
sob a restrição
x^2-2x+y^2-4y=0
O método será o dos multiplicadores de Lagrange, que diz que nos pontos críticos vale
nabla f=lambda,nabla g
onde g(x,y)=x^2-2x+y^2-4y.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
nabla f=(2x,2y)
e
nabla g=(2x-2,2y-4).
A condição nabla f=lambdanabla g gera o sistema
2x=lambda(2x-2),
2y=lambda(2y-4),
junto com a restrição
x^2-2x+y^2-4y=0

Passo 3

Como x=1 faria 2x=lambda(0)Rightarrow2=0 impossível, conclui-se xneq1. De modo análogo yneq2. Assim podemos escrever
lambda=xx-1 e lambda=yy-2,
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xx-1=yy-2 ;Longrightarrow; x(y-2)=y(x-1) ;Longrightarrow; y=2x

Passo 4

Substituindo y=2x na restrição:
x^2-2x+(2x)^2-4,(2x)=0 ;Longrightarrow; 5x^2-10x=0 ;Longrightarrow; 5x(x-2)=0
Logo os candidatos são
(x,y)=(0,0) e (x,y)=(2,4)

Passo 5

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(0,0)=0^2+0^2=0, f(2,4)=2^2+4^2=4+16=20
Como não há outras possibilidades, o valor mínimo de f é 0 em (0,0) e o máximo é 20 em (2,4).

Resposta

Mínimo de f: 0 em (0,0).
Máximo de f: 20 em (2,4).

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