Encontre d zd r e d zd theta, sabendo que z=x^2 y e x=r cos (theta) e y=r sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial r e partial zpartial theta, sabendo que
z = x^2y, x = rcos(theta), y = rsen(theta)
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y, e as derivadas de x,y em relação a r e theta:
partial zpartial x = 2xy, partial zpartial y = x^2,
partial xpartial r = cos(theta), partial ypartial r = sen(theta), partial xpartial theta = -,rsen(theta), partial ypartial theta = rcos(theta)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial r:
partial zpartial r = partial zpartial x,partial xpartial r + partial zpartial y,partial ypartial r = (2xy)cos(theta) + (x^2)sen(theta)
Substituindo x = rcos(theta) e y = rsen(theta),
partial zpartial r = 2l(rcosthetar)l(rsenthetar)costheta + l(rcosthetar)^2sentheta = 2r^2cos^2theta,sentheta + r^2cos^2theta,sentheta = 3r^2cos^2theta,sentheta

Passo 4

Em seguida, para partial zpartial theta:
partial zpartial theta = partial zpartial x,partial xpartial theta + partial zpartial y,partial ypartial theta = (2xy)l(-rsenthetar) + (x^2)l(rcosthetar)
Substituindo x = rcostheta e y = rsentheta,
partial zpartial theta = -2l(rcosthetar)l(rsenthetar),rsentheta + l(rcosthetar)^2,rcostheta = -2r^3costheta,sen^2theta + r^3cos^3theta = r^3l(cos^3theta - 2costheta,sen^2thetar)

Resposta

boxedpartial zpartial r = 3r^2cos^2theta,sentheta, partial zpartial theta = r^3l(cos^3theta - 2costheta,sen^2thetar)

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