( 4,01 Calcule:
integral0^pi4 1+cos ^2(x)cos ^2(x) d x sim integral0^pi / 4 1cos ^2+cos ^2cos ^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular a integral definida de 1+cos^2(x)cos^2(x) de 0 até pi4. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de integrais e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos dividir o numerador pelos termos separados:
1cos^2(x) + cos^2(x)cos^2(x) = 1cos^2(x) + 1
Isso facilita nossa vida porque agora temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver a primeira integral: integral 1cos^2(x) , dx. Sabemos que 1cos^2(x) é igual a sec^2(x), e a integral de sec^2(x) é tan(x). Então,
integral 1cos^2(x) , dx = tan(x) + C

Passo 4

A segunda integral é integral 1 , dx, que é bem simples. A integral de 1 em relação a x é apenas x. Então,
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Agora, vamos juntar os resultados das duas integrais e aplicar os limites de integração de 0 a pi4:
[ tan(x) + x ]0^pi4 = ( tan(pi4) + pi4 ) - ( tan(0) + 0 )
Sabemos que tan(pi4) = 1 e tan(0) = 0, então:
1 + pi4 - 0 = 1 + pi4

Resposta

O valor da integral é 1 + dfracpi4.

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