Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas usando integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Isso significa que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , também varia de 0 a 1. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A função a integrar é . Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos considerar , então . A integral fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de de 0 a 1:
Passo 5
Então, a integral dupla fica:
Podemos fatorar o para facilitar:
Passo 6
Vamos calcular as duas integrais separadamente. Primeiro, :
Passo 7
Agora, para integral0^1 (x - 1)^6 , dx , fazemos uma substituição z = x - 1 , então quando x = 0 , z = -1 e quando x = 1 , z = 0 . A integral fica: