Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=(x-y)^5 ; D=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de f(x, y) = (x - y)^5 sobre a região D = [0,1] times [0,1] . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas usando integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D = [0,1] times [0,1] . Isso significa que x varia de 0 a 1 e, para cada valor de x , y também varia de 0 a 1. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral duplaD (x - y)^5 , dA = integral0^1 integral0^1 (x - y)^5 , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y . A função a integrar é (x - y)^5 . Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos considerar u = x - y , então du = -dy . A integral fica:
integral (x - y)^5 , dy = -integral u^5 , du = -u^66 + C = -(x - y)^66 + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de y de 0 a 1:
-(x - 1)^66 + (x - 0)^66 = x^6 - (x - 1)^66

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (x - y)^5 , dA = integral0^1 x^6 - (x - 1)^66 , dx
Podemos fatorar o 16 para facilitar:
16 integral0^1 ( x^6 - (x - 1)^6 ) , dx

Passo 6

Vamos calcular as duas integrais separadamente. Primeiro, integral0^1 x^6 , dx :
integral0^1 x^6 , dx = x^77 |0^1 = 17 - 0 = 17

Passo 7

Agora, para integral0^1 (x - 1)^6 , dx , fazemos uma substituição z = x - 1 , então quando x = 0 , z = -1 e quando x = 1 , z = 0 . A integral fica:
integral-1^0 z^6 , dz = z^77 |-1^0 = 07 - (-1)^77 = 0 - ( -17 ) = 17

Passo 8

Substituindo de volta na expressão principal:
16 ( 17 - 17 ) = 16 times 0 = 0

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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