Em cada item, calcule
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de $ f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $ sobre a região $ D = [1, 4] \times [1, 2] $. Isso significa que $ x $ varia de 1 a 4 e $ y $ varia de 1 a 2. Vamos usar as regras de integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada fazendo duas integrais simples, uma de cada variável. A fórmula geral é:
No nosso caso, $ x $ vai de 1 a 4 e $ y $ vai de 1 a 2.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x, y) $ na integral:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Primeira integral: $ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} \frac{x}{y} , dy , dx $
Nesse caso, $ x $ é constante em relação a $ y $, então podemos tirar $ x $ de fora da integral interna:
A integral de $ \frac{1}{y} $ em relação a $ y $ é $ \ln|y| $, então:
Calculando a integral de $ x $:
Passo 6
Segunda integral: $ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} \frac{y}{x} , dy , dx $
Aqui, $ \frac{1}{x} $ pode ser tirado de fora da integral interna:
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $, então:
Calculando a integral de $ \frac{1}{x} $:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral dupla é $ \frac{21}{2} \ln(2) $.