Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que f(x, y)=xy+yx ; D=[1,4] times[1,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de $ f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $ sobre a região $ D = [1, 4] \times [1, 2] $. Isso significa que $ x $ varia de 1 a 4 e $ y $ varia de 1 a 2. Vamos usar as regras de integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada fazendo duas integrais simples, uma de cada variável. A fórmula geral é:
integral duplaD f(x, y) , dA = integralx1^x2 integraly1^y2 f(x, y) , dy , dx
No nosso caso, $ x $ vai de 1 a 4 e $ y $ vai de 1 a 2.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x, y) $ na integral:
f(x, y)

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^4 integral1^2 xy , dy , dx + integral1^4 integral1^2 yx , dy , dx

Passo 5

Primeira integral: $ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} \frac{x}{y} , dy , dx $
Nesse caso, $ x $ é constante em relação a $ y $, então podemos tirar $ x $ de fora da integral interna:
integral1^4 integral1^2 xy , dy , dx
A integral de $ \frac{1}{y} $ em relação a $ y $ é $ \ln|y| $, então:
x
Calculando a integral de $ x $:
y

Passo 6

Segunda integral: $ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} \frac{y}{x} , dy , dx $
Aqui, $ \frac{1}{x} $ pode ser tirado de fora da integral interna:
integral1^4 integral1^2 yx , dy , dx
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $, então:
1x
Calculando a integral de $ \frac{1}{x} $:
integral1^4 1x ( integral1^2 y , dy ) dx

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
152 ln(2) + 3 ln(2) = 152 ln(2) + 62 ln(2) = 212 ln(2)
Portanto, o valor da integral dupla é $ \frac{21}{2} \ln(2) $.

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