( 4,01 Calcule:
integral e^tg x cdot(sec x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
integral e^tan x cdot (sec x)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar lembrar como fazer substituições apropriadas e como derivar funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de $ u $ para facilitar a substituição. Observando a integral, notamos que a função dentro do expoente é $ \tan x $. Então, vamos definir:
u

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ du/dx $. Sabemos que a derivada de $ \tan x $ é $ \sec^2 x $. Então:
u

Passo 4

Vamos rearranjar essa derivada para expressar $ dx $ em termos de $ du $:
dx

Passo 5

Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original. A integral fica:
u

Passo 6

Simplificamos a expressão, já que $ (\sec x)^2 $ no numerador e no denominador se cancelam:
(sec x)^2

Passo 7

Agora, a integral ficou bem simples de resolver. A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é:
e^u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição $ u = \tan x $, vamos voltar para a variável original $ x $:
u = tan x

Resposta

A integral é igual a $ e^{\tan x} + C $.

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