( 4,01 Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar lembrar como fazer substituições apropriadas e como derivar funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de $ u $ para facilitar a substituição. Observando a integral, notamos que a função dentro do expoente é $ \tan x $. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ du/dx $. Sabemos que a derivada de $ \tan x $ é $ \sec^2 x $. Então:
Passo 4
Vamos rearranjar essa derivada para expressar $ dx $ em termos de $ du $:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original. A integral fica:
Passo 6
Simplificamos a expressão, já que $ (\sec x)^2 $ no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 7
Agora, a integral ficou bem simples de resolver. A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição $ u = \tan x $, vamos voltar para a variável original $ x $:
Resposta
A integral é igual a $ e^{\tan x} + C $.