Em cada um dos itens abaixo, verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, determinando f^prime(x0) quando for possível.
f(x)=llx^2 sen(1x), & x neq 0 0, & x=0, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 cdot sin(1x), & se x neq 0 0, & se x = 0
E o ponto de interesse é x0 = 0 . A pergunta é: será que essa função é contínua e diferenciável em x0 = 0 ? E, se for diferenciável, qual é a sua derivada nesse ponto?
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que significa uma função ser contínua em um ponto.
  • O que significa ser diferenciável em um ponto.
  • Como aplicar esses conceitos na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em x0 = 0 .
Continuidade em um ponto significa que o limite da função quando x se aproxima de x0 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
limx to x0 f(x) = f(x0)
Aplicando isso ao nosso caso:
limx to 0 x^2 cdot sin(1x) = ?
Sabemos que sin(1x) oscila entre -1 e 1 para todo x neq 0 . Então, multiplicando por x^2 , que tende a 0 quando x tende a 0, o produto também tende a 0. Portanto:
limx to 0 x^2 cdot sin(1x) = 0 = f(0)
Então, a função é contínua em x0 = 0 .

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função em x0 = 0 .
Diferenciabilidade em um ponto significa que existe a derivada da função nesse ponto, ou seja, que o limite que define a derivada existe:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Aplicando ao nosso caso:
f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h = limh to 0 h^2 cdot sin(1h) - 0h = limh to 0 h cdot sin(1h)
Novamente, sabemos que sin(1h) está entre -1 e 1. Multiplicando por h , que tende a 0, temos que o limite do produto também tende a 0:
limh to 0 h cdot sin(1h) = 0
Portanto, a derivada em x0 = 0 existe e é igual a 0.

Resposta

A função f(x) é contínua e diferenciável em x0 = 0 , com derivada f'(0) = 0 .

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