01: Calcule a integral por frações parciais
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{x^{3}+x^{2}-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por frações parciais
\int \frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}+x^{2}-2x}\,dx.
O conteúdo é decomposição em frações parciais de uma função racional cujo denominador fatorado é x(x+2)(x-1).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e propomos a decomposição:
x^{3}+x^{2}-2x = x(x+2)(x-1),
\frac{x^{2}+2x-1}{x(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+2)(x-1) obtemos a identidade
x^{2}+2x-1 = A(x+2)(x-1) + B\,x(x-1) + C\,x(x+2).

Passo 3

Para encontrar A, B e C usamos raízes do denominador:
x =0:
-1 = A\cdot(2)(-1)\;\Longrightarrow\;A = \tfrac12.
x =1:
1+2-1=2 = C\cdot1\cdot3\;\Longrightarrow\;C = \tfrac{2}{3}.
x = -2:
4 -4 -1=-1 = B\cdot(-2)(-3)=6B\;\Longrightarrow\;B = -\tfrac{1}{6}.

Passo 4

A decomposição fica
\frac{x^{2}+2x-1}{x(x+2)(x-1)} = \frac{1/2}{x} - \frac{1/6}{x+2} + \frac{2/3}{x-1}.
Integrando termo a termo:
\int \frac{1/2}{x}\,dx = \tfrac12\ln\lvert x\rvert, \quad \int \bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr)\frac{1}{x+2}\,dx = -\tfrac{1}{6}\ln\lvert x+2\rvert,
\int \frac{2/3}{x-1}\,dx = \tfrac{2}{3}\ln\lvert x-1\rvert.
Somando e adicionando a constante de integração:

Resposta

\int \frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}+x^{2}-2x}\,dx = \tfrac12\ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{6}\ln\lvert x+2\rvert + \tfrac{2}{3}\ln\lvert x-1\rvert + C.

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