02: Calcule a integral por frações parciais
\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+3 e^{x}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}\,dx
e indica usar frações parciais. A ideia será primeiro transformar essa integral numa integral de uma função racional por meio da substituição t=e^{x}, e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
t = e^{x}, \quad dt = e^{x}\,dx
a integral original fica
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}\,dx = \int \frac{1}{t^{2}+3t+2}\,dt.

Passo 3

Note que o denominador em t fatoriza como
t^{2}+3t+2 = (t+1)(t+2).
Logo precisamos decompor
\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}.

Passo 4

Para achar A e B, escrevemos
1 = A(t+2) + B(t+1).
Escolhendo t=-2
1 = B(-1)\quad\Longrightarrow\quad B = -1,
e escolhendo t=-1
1 = A\cdot1\quad\Longrightarrow\quad A = 1.
Assim
\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}.

Passo 5

Agora integramos cada parcela:
\int \frac{1}{t+1}\,dt - \int \frac{1}{t+2}\,dt = \ln\lvert t+1\rvert - \ln\lvert t+2\rvert + C.

Passo 6

Voltando à variável x com t=e^{x}, obtemos
\ln\bigl(e^{x}+1\bigr) - \ln\bigl(e^{x}+2\bigr) + C = \ln\frac{e^{x}+1}{\,e^{x}+2\,} + C.

Resposta

\ln\frac{e^{x}+1}{e^{x}+2} + C.

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