03: Calcular a integral por substituição trigonométrica
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integrar expressões com \sqrt{x^{2}-a^{2}}, para o qual usamos a troca
x = a\,\operatorname{sec}\theta,\quad a=2.

Passo 2

Fazendo x = 2\operatorname{sec}\theta temos
dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
x^{2} = 4\operatorname{sec}^{2}\theta,
\sqrt{x^{2}-4} = \sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta - 4} = 2\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \int \frac{4\operatorname{sec}^{2}\theta}{2\tan\theta}\,\bigl(2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora usamos a primitiva conhecida
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert\bigr)+C.
Multiplicando por 4:
\int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =2\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert\bigr)+C.

Passo 5

Voltando a x:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{2},\quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}.
Então
\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta = \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2} = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{4},
e
\ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert = \ln\bigl\lvert \frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\bigr\rvert = \ln\lvert x+\sqrt{x^{2}-4}\rvert - \ln 2.
Como -2\ln 2 pode ser absorvido na constante C, obtemos a primitiva em x:

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2} +2\ln\bigl\lvert x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr\rvert + C.}

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