Observando um sistema onde a energia cinética deve ser calculada, identifique a relação correta para a energia cinética em termos das coordenadas generalizadas.
a. T=\frac{1}{2} m\left(x^{2}+y^{2}\right)
b. T=\frac{1}{2} I \omega^{2}
c. T=\frac{1}{2} m\left(r^{2}+\theta^{2}\right)
d. T=\frac{1}{2} m v^{2}
e. T=\frac{1}{2} k x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre várias expressões, aquela que representa corretamente a energia cinética em termos de coordenadas generalizadas. O conteúdo é energia cinética em mecânica clássica, e vamos usar a definição de energia cinética de uma partícula e de um corpo rígido.

Passo 2

Em coordenadas generalizadas q_i com velocidades generalizadas \dot q_i, a forma geral da energia cinética é
T = \tfrac12 \sum_{i,j} M_{ij}(q)\,\dot q_i\,\dot q_j.
No caso mais simples de uma partícula de massa m com velocidade v, isso vira a forma canônica
T = \tfrac12\,m\,v^2.
Para um corpo rígido em rotação pura, a energia cinética é
T = \tfrac12\,I\,\omega^2,
onde I é o momento de inércia e \omega a velocidade angular.

Passo 3

Vamos comparar com as alternativas:
  • (a) usa x^2+y^2 sem velocidade, é um termo de posição, não energia cinética.
  • (b) é energia cinética rotacional específica (caso de corpo rígido), e não a forma geral de partícula.
  • (c) mistura r^2+\theta^2 sem derivadas temporais, não faz sentido para T.
  • (e) \tfrac12\,k\,x^2 é energia potencial de mola, não cinética.
    Só a alternativa (d)
T = \tfrac12\,m\,v^2
corresponde à expressão canônica da energia cinética em termos da velocidade generalizada v.

Resposta

(d) T=\tfrac12\,m\,v^2

Exercícios relacionados