Prove que:
.
Passo 1
Nesse primeiro passo, vamos relembrar o enunciado: precisamos provar que a derivada da função tangente, isto é
, é igual a
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de funções trigonométricas e vamos usar as derivadas de
e
, além da regra do quociente.
Passo 2
Para o segundo passo, lembramos a regra do quociente. Se temos duas funções
e
, então
Passo 3
Agora, escolhemos
e
, pois
. Sabemos que
e
. Substituindo na fórmula do quociente, o numerador fica
$$\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr)
= \cos^2(x) + \sin^2(x).$$
E o denominador é .
E o denominador é
Passo 4
No quarto passo, aplicamos a identidade trigonométrica fundamental
. Assim, a derivada fica
Passo 5
Reconhecemos que
é
, então
.