Prove que:
tan ^prime(x)=sec ^2(x).

Passo 1

Nesse primeiro passo, vamos relembrar o enunciado: precisamos provar que a derivada da função tangente, isto é tan'(x), é igual a sec^2(x). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de funções trigonométricas e vamos usar as derivadas de sin(x) e cos(x), além da regra do quociente.

Passo 2

Para o segundo passo, lembramos a regra do quociente. Se temos duas funções u(x) e v(x), então
l(tfracuvr)' = u',v - u,v'v^2

Passo 3

Agora, escolhemos u(x)=sin(x) e v(x)=cos(x), pois tan(x)=tfracsin(x)cos(x). Sabemos que u'(x)=cos(x) e v'(x)=-sin(x). Substituindo na fórmula do quociente, o numerador fica
$$\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr)
= \cos^2(x) + \sin^2(x).$$
E o denominador é cos(x)cdotcos(x) - sin(x)cdotl(-sin(x)r) = cos^2(x) + sin^2(x).

Passo 4

No quarto passo, aplicamos a identidade trigonométrica fundamental sin^2(x)+cos^2(x)=1. Assim, a derivada fica
tan'(x) = cos^2(x)+sin^2(x)cos^2(x) = 1cos^2(x)

Passo 5

Reconhecemos que 1/cos(x) é sec(x), então 1/cos^2(x)=sec^2(x).

Resposta

sec^2(x)

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