01 . Construa o gráfico de f(x)=|x+1| e de g(x)=|2 x-1|
Passo 1
O enunciado pede: construir (desenhar) o gráfico de f(x)=|x+1| e de g(x)=|2x-1|.
Informações dadas diretamente pelo enunciado:
A função f é f(x)=|x+1|.
A função g é g(x)=|2x-1|.
O objetivo é obter as formas gráficas (os vértices, inclinações das retas que formam o “V” e pontos-chave para desenhar cada gráfico).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula curta e prática sobre valor absoluto).
O valor absoluto |u|\) de uma expressão \(u\) tem a definição por partes:
\[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Para a função base y=|x|\] isso dá
\[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0, \end{cases}\]
que é um "V" com vértice em \((0,0), ramo direito com inclinação +1 e ramo esquerdo com inclinação -1.
Dica prática: para qualquer y=|ax+b| encontramos primeiro onde ax+b=0 (ponto do vértice), e depois escrevemos a função por partes trocando o sinal quando ax+b muda de sinal. Outra forma útil é reescrever
o que mostra deslocamento horizontal para x=-\tfrac{b}{a} e alongamento vertical por |a|.]
Passo 3
Aplicando o conceito à prática: procedimento passo a passo para desenhar uma y=|ax+b|.
Calcular o ponto onde ax+b=0; esse é o vértice (x do vértice).
Reescrever por partes usando a definição do valor absoluto para cada região (antes e depois do vértice).
Identificar as inclinações (coeficientes angulares) em cada ramo. Para ax+b\ge0 a expressão vira ax+b (inclinação a), e para ax+b<0 vira -(ax+b) (inclinação -a). Note que o fator absoluto faz com que a inclinação dos ramos tenha valores \pm |a|.
Escolher alguns pontos-chave (vértice, intercepto com o eixo y, mais um ou dois pontos em cada lado) e ligar por retas.
Passo 4
Resolver e esboçar f(x)=|x+1|\).
1) Encontrar o vértice resolvendo \(x+1=0\): \(x=-1\). Então o vértice é \((-1,0)\).
2) Escrever por partes usando a definição:
\[f(x)=|x+1|=\begin{cases} -(x+1)= -x-1, & \text{se } x+1<0\\ (\text{ou } x< -1),\\[4pt] x+1, & \text{se } x+1\ge 0\\ (\text{ou } x\ge -1). \end{cases}
Inclinações: para x< -1\] a inclinação é \(-1; para x\ge -1 a inclinação é +1.
Pontos úteis para desenhar:
Vértice: (-1,0).
Intercepto com o eixo y: f(0)=|0+1|=1, ponto (0,1).
Um ponto à esquerda do vértice: f(-2)=|-2+1|=1, ponto (-2,1).
Com esses pontos desenha-se o “V” com vértice em (-1,0) e ramos retos com inclinações -1 (à esquerda) e +1 (à direita).]
Passo 5
Resolver e esboçar g(x)=|2x-1|\).
1) Encontrar o vértice resolvendo \(2x-1=0\): \(x=\tfrac{1}{2}\). Então o vértice é \(\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr)\).
2) Reescrever para ver transformação: \(g(x)=|2x-1|=|2|\left|x-\tfrac{1}{2}\right|=2\left|x-\tfrac{1}{2}\right|\). Isso mostra: comece com \(y=|x|\), desloque para a direita em \(\tfrac{1}{2}\) e estique verticalmente por fator \(2\).
3) Escrever por partes:
\[g(x)=|2x-1|=\begin{cases} -(2x-1)=-2x+1, & \text{se } 2x-1<0\\ (\text{ou } x< \tfrac{1}{2}),\\[4pt] 2x-1, & \text{se } 2x-1\ge 0\\ (\text{ou } x\ge \tfrac{1}{2}). \end{cases}
Inclinações: para x<\tfrac{1}{2}\] a inclinação é \(-2; para x\ge\tfrac{1}{2} a inclinação é +2.
Pontos úteis para desenhar:
Vértice: \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).
Intercepto com o eixo y: g(0)=|2\cdot0-1|=1, ponto (0,1).
Outro ponto: g(1)=|2\cdot1-1|=1, ponto (1,1).
Com esses pontos desenha-se o “V” com vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e ramos mais íngremes (inclinações \pm 2) que os de f.]
Passo 6
Comparação prática e instruções finais para o desenho (como eu mesmo faria no rascunho da prova):
Ambos são funções do tipo valor absoluto, então têm forma de “V”.
Vértices: f em (-1,0), g em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr). Marque esses pontos primeiro.
Interceptos com y: ambos passam por (0,1) — ótimo ponto em comum para comparar.
Inclinações: f tem ramos com inclinações \pm 1 (mais “aberto”); g tem ramos com inclinações \pm 2 (mais “fechado” / mais íngreme).
Ligue o vértice a cada lado seguindo as retas definidas nas fórmulas por partes; estenda as retas sem curvar. Pronto, gráfico construído.
Passo 7
Equações das retas que compõem cada gráfico (úteis para traçar com régua):