01 . Construa o gráfico de f(x)=|x+1| e de g(x)=|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede: construir (desenhar) o gráfico de f(x)=|x+1| e de g(x)=|2x-1|.
Informações dadas diretamente pelo enunciado:
  • A função f é f(x)=|x+1|.
  • A função g é g(x)=|2x-1|.
    O objetivo é obter as formas gráficas (os vértices, inclinações das retas que formam o “V” e pontos-chave para desenhar cada gráfico).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula curta e prática sobre valor absoluto).
O valor absoluto |u|\) de uma expressão \(u\) tem a definição por partes: \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Para a função base y=|x|\] isso dá \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0, \end{cases}\] que é um "V" com vértice em \((0,0), ramo direito com inclinação +1 e ramo esquerdo com inclinação -1.
Dica prática: para qualquer y=|ax+b| encontramos primeiro onde ax+b=0 (ponto do vértice), e depois escrevemos a função por partes trocando o sinal quando ax+b muda de sinal. Outra forma útil é reescrever
|ax+b|=|a|\left|x-\left(-\tfrac{b}{a}\right)\right|,
o que mostra deslocamento horizontal para x=-\tfrac{b}{a} e alongamento vertical por |a|.]

Passo 3

Aplicando o conceito à prática: procedimento passo a passo para desenhar uma y=|ax+b|.
  1. Calcular o ponto onde ax+b=0; esse é o vértice (x do vértice).
  2. Reescrever por partes usando a definição do valor absoluto para cada região (antes e depois do vértice).
  3. Identificar as inclinações (coeficientes angulares) em cada ramo. Para ax+b\ge0 a expressão vira ax+b (inclinação a), e para ax+b<0 vira -(ax+b) (inclinação -a). Note que o fator absoluto faz com que a inclinação dos ramos tenha valores \pm |a|.
  4. Escolher alguns pontos-chave (vértice, intercepto com o eixo y, mais um ou dois pontos em cada lado) e ligar por retas.

Passo 4

Resolver e esboçar f(x)=|x+1|\). 1) Encontrar o vértice resolvendo \(x+1=0\): \(x=-1\). Então o vértice é \((-1,0)\). 2) Escrever por partes usando a definição: \[f(x)=|x+1|=\begin{cases} -(x+1)= -x-1, & \text{se } x+1<0\\ (\text{ou } x< -1),\\[4pt] x+1, & \text{se } x+1\ge 0\\ (\text{ou } x\ge -1). \end{cases}
  1. Inclinações: para x< -1\] a inclinação é \(-1; para x\ge -1 a inclinação é +1.
  2. Pontos úteis para desenhar:
  • Vértice: (-1,0).
  • Intercepto com o eixo y: f(0)=|0+1|=1, ponto (0,1).
  • Um ponto à esquerda do vértice: f(-2)=|-2+1|=1, ponto (-2,1).
    Com esses pontos desenha-se o “V” com vértice em (-1,0) e ramos retos com inclinações -1 (à esquerda) e +1 (à direita).]

Passo 5

Resolver e esboçar g(x)=|2x-1|\). 1) Encontrar o vértice resolvendo \(2x-1=0\): \(x=\tfrac{1}{2}\). Então o vértice é \(\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr)\). 2) Reescrever para ver transformação: \(g(x)=|2x-1|=|2|\left|x-\tfrac{1}{2}\right|=2\left|x-\tfrac{1}{2}\right|\). Isso mostra: comece com \(y=|x|\), desloque para a direita em \(\tfrac{1}{2}\) e estique verticalmente por fator \(2\). 3) Escrever por partes: \[g(x)=|2x-1|=\begin{cases} -(2x-1)=-2x+1, & \text{se } 2x-1<0\\ (\text{ou } x< \tfrac{1}{2}),\\[4pt] 2x-1, & \text{se } 2x-1\ge 0\\ (\text{ou } x\ge \tfrac{1}{2}). \end{cases}
  1. Inclinações: para x<\tfrac{1}{2}\] a inclinação é \(-2; para x\ge\tfrac{1}{2} a inclinação é +2.
  2. Pontos úteis para desenhar:
  • Vértice: \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).
  • Intercepto com o eixo y: g(0)=|2\cdot0-1|=1, ponto (0,1).
  • Outro ponto: g(1)=|2\cdot1-1|=1, ponto (1,1).
    Com esses pontos desenha-se o “V” com vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e ramos mais íngremes (inclinações \pm 2) que os de f.]

Passo 6

Comparação prática e instruções finais para o desenho (como eu mesmo faria no rascunho da prova):
  • Ambos são funções do tipo valor absoluto, então têm forma de “V”.
  • Vértices: f em (-1,0), g em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr). Marque esses pontos primeiro.
  • Interceptos com y: ambos passam por (0,1) — ótimo ponto em comum para comparar.
  • Inclinações: f tem ramos com inclinações \pm 1 (mais “aberto”); g tem ramos com inclinações \pm 2 (mais “fechado” / mais íngreme).
  • Ligue o vértice a cada lado seguindo as retas definidas nas fórmulas por partes; estenda as retas sem curvar. Pronto, gráfico construído.

Passo 7

Equações das retas que compõem cada gráfico (úteis para traçar com régua):
  • Para f(x)=|x+1|:
\text{ramo esquerdo: } y=-x-1\quad (x< -1),\qquad \text{ramo direito: } y=x+1\quad (x\ge -1).
  • Para g(x)=|2x-1|:
\text{ramo esquerdo: } y=-2x+1\quad (x< \tfrac{1}{2}),\qquad \text{ramo direito: } y=2x-1\quad (x\ge \tfrac{1}{2}).

Resposta

f(x)=\begin{cases} -x-1, & x< -1,\\[4pt] x+1, & x\ge -1, \end{cases}
g(x)=\begin{cases} -2x+1, & x< \tfrac{1}{2},\\[4pt] 2x-1, & x\ge \tfrac{1}{2}. \end{cases}]

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