Determine a expressão que representa a área de um quadrado de lado
e a área de um retângulo de lados
e
. Em seguida, escreva a diferença entre essas duas áreas na forma fatorada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar a expressão da área de um quadrado cujo lado é
. - Encontrar a expressão da área de um retângulo cujos lados são
e . - Escrever a diferença entre essas duas áreas na forma fatorada.
Informações dadas:
- Lado do quadrado:
. - Lados do retângulo:
e .
Passo 2
Fórmula da área do quadrado: a área de um quadrado é o quadrado do comprimento do lado. Em forma simbólica:
Aqui o lado é
, portanto
Explicando como expandir um quadrado de binômio: para
vale a identidade
Aplicando com
e
:
Passo 3
Fórmula da área do retângulo: a área é o produto dos comprimentos dos lados:
Aqui os lados são
e
, então
Observação sobre esse produto:
é um produto de binômios conjugados, e vale a identidade (diferença de quadrados)
Aplicando com
e
:
Passo 4
Agora formamos a diferença entre as áreas (quadrado menos retângulo). Substituindo as expressões obtidas:
Usando as formas expandidas:
Fazendo a subtração termo a termo:
Portanto
Passo 5
Queremos escrever a expressão
na forma fatorada. Primeiro verificamos se há fator comum: os coeficientes
têm máximo divisor comum
, então não há fator inteiro maior que
. Para fatorar um quadrático sem fatoração óbvia por inteiros, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para encontrar as raízes; então escrevemos a fatoração como
, onde
são as raízes.
Para o polinômio
temos
,
,
. A fórmula das raízes é
onde o discriminante é
.
Passo 6
Calcular o discriminante:
A raiz quadrada é
.
Aplicando a fórmula:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Portanto as raízes são
Passo 7
Escrever a fatoração a partir das raízes: como o coeficiente líder é
, temos
Substituindo
e
:
Podemos simplificar a aparência somando os sinais negativos dentro dos parênteses, obtendo uma forma mais limpa:
(As duas formas são equivalentes; ambas são fatorações em termos de fatores lineares reais.)