Determine a expressão que representa a área de um quadrado de lado (2 x+3) e a área de um retângulo de lados (x+1) e (x-1). Em seguida, escreva a diferença entre essas duas áreas na forma fatorada.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar a expressão da área de um quadrado cujo lado é (2x+3).
  • Encontrar a expressão da área de um retângulo cujos lados são (x+1) e (x-1).
  • Escrever a diferença entre essas duas áreas na forma fatorada.
Informações dadas:
  • Lado do quadrado: (2x+3).
  • Lados do retângulo: (x+1) e (x-1).

Passo 2

Fórmula da área do quadrado: a área de um quadrado é o quadrado do comprimento do lado. Em forma simbólica:
\text{Área do quadrado} = (\text{lado})^2.Á
Aqui o lado é (2x+3), portanto
\text{Área do quadrado} = (2x+3)^2.Á
Explicando como expandir um quadrado de binômio: para (a+b)^2 vale a identidade
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Aplicando com a=2x e b=3:
(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9.

Passo 3

Fórmula da área do retângulo: a área é o produto dos comprimentos dos lados:
\text{Área do retângulo} = (\text{lado}_1)\cdot(\text{lado}_2).Áâ
Aqui os lados são (x+1) e (x-1), então
\text{Área do retângulo} = (x+1)(x-1).Áâ
Observação sobre esse produto: (x+1)(x-1) é um produto de binômios conjugados, e vale a identidade (diferença de quadrados)
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
Aplicando com a=x e b=1:
(x+1)(x-1)=x^2-1.

Passo 4

Agora formamos a diferença entre as áreas (quadrado menos retângulo). Substituindo as expressões obtidas:
(2x+3)^2 - (x+1)(x-1).
Usando as formas expandidas:
(4x^2 + 12x + 9) - (x^2 - 1).
Fazendo a subtração termo a termo:
4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 1 = (4x^2 - x^2) + 12x + (9+1).
Portanto
4x^2 + 12x + 9 - (x^2 - 1) = 3x^2 + 12x + 10.

Passo 5

Queremos escrever a expressão 3x^2 + 12x + 10 na forma fatorada. Primeiro verificamos se há fator comum: os coeficientes 3,12,10 têm máximo divisor comum 1, então não há fator inteiro maior que 1. Para fatorar um quadrático sem fatoração óbvia por inteiros, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para encontrar as raízes; então escrevemos a fatoração como a(x-r_1)(x-r_2), onde r_1,r_2 são as raízes.
Para o polinômio 3x^2+12x+10 temos a=3, b=12, c=10. A fórmula das raízes é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^2-4ac.

Passo 6

Calcular o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 12^2 - 4\cdot 3\cdot 10 = 144 - 120 = 24.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{2\cdot 3}=\frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
x=\frac{-6 \pm \sqrt{6}}{3}.
Portanto as raízes são
r_1=\frac{-6 + \sqrt{6}}{3},\qquad r_2=\frac{-6 - \sqrt{6}}{3}.

Passo 7

Escrever a fatoração a partir das raízes: como o coeficiente líder é a=3, temos
3x^2 + 12x + 10 = 3\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right).
Substituindo r_1 e r_2:
3x^2 + 12x + 10 = 3\left(x - \frac{-6 + \sqrt{6}}{3}\right)\left(x - \frac{-6 - \sqrt{6}}{3}\right).
Podemos simplificar a aparência somando os sinais negativos dentro dos parênteses, obtendo uma forma mais limpa:
3x^2 + 12x + 10 = 3\left(x + \frac{6 - \sqrt{6}}{3}\right)\left(x + \frac{6 + \sqrt{6}}{3}\right).
(As duas formas são equivalentes; ambas são fatorações em termos de fatores lineares reais.)

Resposta

\text{Área do quadrado}=(2x+3)^2=4x^2+12x+9Á
\text{Área do retângulo}=(x+1)(x-1)=x^2-1Áâ
\text{Diferença das áreas (fatorada)}=3\left(x+\dfrac{6-\sqrt{6}}{3}\right)\left(x+\dfrac{6+\sqrt{6}}{3}\right)çá

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