(2,0) 01. Determine se o conjunto (1,0,0),(0,-1,0),(1,1,1) é uma base do R^3.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto (1,0,0), (0,-1,0), (1,1,1) é uma base do R^3. Para isso, precisamos entender o que é uma base em Álgebra Linear. Basicamente, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, precisamos confirmar duas coisas: se os vetores não são combinações uns dos outros e se qualquer vetor em R^3 pode ser obtido usando combinações desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira prática de fazer isso é organizando os vetores em uma matriz e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores do conjunto como colunas:
A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1
Agora, calculamos o determinante de A:
det(A) = 1 cdot -1 & 1 0 & 1 - 0 cdot 0 & 1 0 & 1 + 1 cdot 0 & -1 0 & 0
Calculando os menores:
det(A) = 1 cdot [(-1)(1) - (1)(0)] - 0 + 1 cdot [0 - 0] = 1 cdot (-1) - 0 + 0 = -1

Resposta

O determinante é -1, que é diferente de zero. Portanto, os vetores são linearmente independentes e, assim, o conjunto (1,0,0), (0,-1,0), (1,1,1) é uma base do R^3.

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