Encontre o vetor tangente em cada ponto da curva. Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal ou vertical.
r(t)=(2 cos (t), sen(2 t))

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t) = l(2cos(t),,sin(2t)r)
e pede duas coisas:
  1. O vetor tangente r'(t) em cada ponto.
  2. Os pontos em que essa tangente é horizontal ou vertical.
    Para isso vamos usar cálculo de derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos o vetor tangente
r'(t) = l(x'(t),,y'(t)r)
onde
x'(t) = ddtl[2cos(t)r] = -2sin(t), y'(t) = ddtl[sin(2t)r] = 2cos(2t)
Logo
r'(t) = l(-2sin(t),,2cos(2t)r)

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando y'(t)=0 e x'(t)neq0.
  1. y'(t)=0
2cos(2t)=0 ;Longrightarrow; cos(2t)=0 ;Longrightarrow; 2t = pi2 + kpi ;Longrightarrow; t = pi4 + kpi2,;kinZ
  1. Verificamos x'(t)=-2sin(t)neq0. Para t=pi4+kpi2 temos sin(t)neq0, logo ok.
  2. Os pontos na curva são
l(2cos t,;sin(2t)r) com t = pi4 + kpi2
Em um período 0<= t<2pi os quatro pontos distintos são
l(raiz2,,1r),; l(-raiz2,,-1r),; l(-raiz2,,1r),; l(raiz2,,-1r)

Passo 4

Tangente vertical ocorre quando x'(t)=0 e y'(t)neq0.
  1. x'(t)=0
-2sin(t)=0 ;Longrightarrow; sin(t)=0 ;Longrightarrow; t = kpi,;kinZ
  1. Verificamos y'(t)=2cos(2t)neq0. Para t=kpi temos cos(2kpi)=1neq0, ok.
  2. Os pontos na curva são
l(2cos t,;sin(2t)r) com t = kpi,
que repetem em cada período. Em 0<= t<2pi
(2,0) e (-2,0)

Resposta

Vetor tangente:
r'(t) = l(-2sin(t),,2cos(2t)r)
Tangente horizontal em
t = pi4 + kpi2,
nos pontos
(raiz2,1),,(-raiz2,-1),,(-raiz2,1),,(raiz2,-1) (num período).
Tangente vertical em
t = kpi,
nos pontos (2,0) e (-2,0) (num período).

Exercícios relacionados