Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. Em seguida, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
r(t)=(sen(t), sen^2(t))

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva definida por
x=sin(t),;y=sin^2(t),
indicar a direção de traçado conforme t aumenta, e depois eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e manipulação algébrica de identidades trigonométricas.

Passo 2

Começamos eliminando o parâmetro. Como
x = sin(t),
e
y = sin^2(t) = l(sin(t)r)^2,
basta substituir sin(t)=x em y. Logo,
y = x^2
Além disso, como sin(t) varia em [-1,1], temos -1<= x<=1.

Passo 3

Para entender o traçado paramétrico, analisamos alguns valores de t:
t=0&implies(sin0,sin^2 0)=(0,0), t=tfracpi2&implies(1,1), t=pi&implies(0,0), t=tfrac3pi2&implies(-1,1), t=2pi&implies(0,0)
Isso mostra que o ponto se move entre (0,0)to(1,1)to(0,0)to(-1,1)to(0,0), repetindo ciclicamente sobre a parábola y=x^2.

Passo 4

O esboço é o ramo da parábola y=x^2 limitado a -1<= x<=1. Começando em (0,0), a seta aponta para a direita e para cima até (1,1), volta a descer até (0,0), depois vai para a esquerda e para cima até (-1,1) e retorna a (0,0), e assim por diante conforme t aumenta.

Resposta

A equação cartesiana da curva é
y = x^2, -1 <= x <= 1

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