Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. Em seguida, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
r(t)=(raiz2 cos (t), raiz2 sen(t), t)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
r(t)=l(raiz2cos t,;raiz2sen t,;tr),
pede o esboço da curva em R^3 indicando a direção conforme t cresce, e depois eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana. Vamos usar os conceitos de projeção no plano xy e eliminação de parâmetro.

Passo 2

Para esboçar, primeiro vemos a projeção no plano xy:
x(t)=raiz2cos t, y(t)=raiz2sen t
que descreve uma circunferência de raio raiz2 centrada em (0,0). À medida que t cresce, o ponto move-se no sentido anti-horário (quando visto de cima).

Passo 3

No espaço, junto com z(t)=t, essa circunferência vai subindo continuamente, formando uma hélice em torno do eixo z. A direção de traçado é para cima e anti-horária vista de cima.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, compute
x^2+y^2=(raiz2cos t)^2+(raiz2sen t)^2 =2l(cos^2t+sen^2tr) =2
Além disso, z=t, mas a relação essencial entre x,y,z é a do cilindro.

Resposta

A curva é uma hélice de raio raiz2 em torno do eixo z, traçada no sentido anti-horário visto de cima e subindo conforme t aumenta. A sua equação cartesiana (eliminando t) é
x^2 + y^2 = 2

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