Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta. Em seguida, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por
pede o esboço da curva em
indicando a direção conforme
cresce, e depois eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana. Vamos usar os conceitos de projeção no plano
e eliminação de parâmetro.
Passo 2
Para esboçar, primeiro vemos a projeção no plano
:
que descreve uma circunferência de raio
centrada em
. À medida que
cresce, o ponto move-se no sentido anti-horário (quando visto de cima).
Passo 3
No espaço, junto com
, essa circunferência vai subindo continuamente, formando uma hélice em torno do eixo
. A direção de traçado é para cima e anti-horária vista de cima.
Passo 4
Para eliminar o parâmetro, compute
Além disso,
, mas a relação essencial entre
é a do cilindro.
Resposta
A curva é uma hélice de raio
em torno do eixo
, traçada no sentido anti-horário visto de cima e subindo conforme
aumenta. A sua equação cartesiana (eliminando
) é