01 - Dois atletas A e B partem do mesmo ponto, no mesmo instante e no mesmo sentido, em uma pista de corrida circular. Se o atleta A completa cada volta em 3 minutos e o atleta B completa cada volta em 5 minutos, assinale a alternativa que apresenta em quantos minutos depois da largada eles irão se encontrar pela primeira vez no ponto onde partiram.
a) 3 minutos.
b) 6 minutos.
c) 10 minutos.
d) 15 minutos.
e) 20 minutos.
a) 3 minutos.
b) 6 minutos.
c) 10 minutos.
d) 15 minutos.
e) 20 minutos.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois atletas
e partem do mesmo ponto, ao mesmo tempo e no mesmo sentido, numa pista circular. - O atleta
completa uma volta em minutos. - O atleta
completa uma volta em minutos. - Pergunta: em quantos minutos depois da largada eles vão se encontrar pela primeira vez exatamente no ponto onde partiram?
Passo 2
Entendendo o que significa “estar no ponto onde partiram”: um atleta está no ponto de partida exatamente quando completou um número inteiro de voltas.
- Os instantes em que
passa pelo ponto de partida são todos os tais que , com inteiro positivo. Ou seja, minutos. - Os instantes em que
passa pelo ponto de partida são todos os tais que , com inteiro positivo. Ou seja, minutos.
Queremos o menorque pertence a ambas as listas: o menor que é múltiplo de e de ao mesmo tempo.
Passo 3
Matematicamente, buscamos o menor
tal que existam inteiros positivos
com
Esse
é o mínimo múltiplo comum de
e
, isto é, o mínimo comum múltiplo
.
Passo 4
Calcular
é simples usando fatoração em primos:
Ambos são primos distintos, então
Outra forma de ver: da equação
o menor inteiro
que funciona é
(porque
deve ser múltiplo de
), então
e corresponde a
.
Passo 5
Interpretação final:
passa no ponto de partida nos instantes
e
nos instantes
. O primeiro instante comum após a largada é
minutos. Respire, tá tudo certo — é só o
!
Resposta
d)
minutos.