01 - Dois atletas A e B partem do mesmo ponto, no mesmo instante e no mesmo sentido, em uma pista de corrida circular. Se o atleta A completa cada volta em 3 minutos e o atleta B completa cada volta em 5 minutos, assinale a alternativa que apresenta em quantos minutos depois da largada eles irão se encontrar pela primeira vez no ponto onde partiram.
a) 3 minutos.
b) 6 minutos.
c) 10 minutos.
d) 15 minutos.
e) 20 minutos.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois atletas A e B partem do mesmo ponto, ao mesmo tempo e no mesmo sentido, numa pista circular.
  • O atleta A completa uma volta em 3 minutos.
  • O atleta B completa uma volta em 5 minutos.
  • Pergunta: em quantos minutos depois da largada eles vão se encontrar pela primeira vez exatamente no ponto onde partiram?

Passo 2

Entendendo o que significa “estar no ponto onde partiram”: um atleta está no ponto de partida exatamente quando completou um número inteiro de voltas.
  • Os instantes em que A passa pelo ponto de partida são todos os t tais que t = 3k, com k inteiro positivo. Ou seja, t\in\{3,6,9,12,\dots\} minutos.
  • Os instantes em que B passa pelo ponto de partida são todos os t tais que t = 5m, com m inteiro positivo. Ou seja, t\in\{5,10,15,20,\dots\} minutos.
    Queremos o menor t>0 que pertence a ambas as listas: o menor t que é múltiplo de 3 e de 5 ao mesmo tempo.

Passo 3

Matematicamente, buscamos o menor t>0 tal que existam inteiros positivos k,m com
t=3k=5m.
Esse t é o mínimo múltiplo comum de 3 e 5, isto é, o mínimo comum múltiplo \mathrm{mcm}(3,5).

Passo 4

Calcular \mathrm{mcm}(3,5) é simples usando fatoração em primos:
3 = 3,\qquad 5 = 5.
Ambos são primos distintos, então
\mathrm{mcm}(3,5)=3\cdot5=15.
Outra forma de ver: da equação 3k=5m o menor inteiro k que funciona é k=5 (porque k deve ser múltiplo de 5), então t=3\cdot5=15 e corresponde a m=3.

Passo 5

Interpretação final: A passa no ponto de partida nos instantes 3,6,9,12,15,\dots e B nos instantes 5,10,15,\dots. O primeiro instante comum após a largada é t=15 minutos. Respire, tá tudo certo — é só o \mathrm{mcm}!

Resposta

d) 15 minutos.

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