01 Marque a alternativa que explicita o domínio
da função
, definida pela lei de formação:
(A)
e
(B)
(C)
(D)
e
(E)
e
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede para marcar a alternativa que explicita o domínio
da função
definida por
Informações dadas relevantes:
- A expressão dentro da raiz é
. - A função está definida de
em pela lei acima, então precisamos achar todos os em que é um número real. - Na expressão aparece uma raiz quadrada e um denominador, então teremos restrições da raiz e do denominador.
Passo 2
Regras que regem a existência de
como número real:
- Para a raiz quadrada real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
Vou explicar: a raiz quadrada real de um número só existe se esse número for não-negativo. Por isso a desigualdade acima.
- Além disso, o denominador não pode ser zero. Ou seja, devemos excluir os
tais que
Vou explicar: divisão por zero não é permitida, então qualquer ponto que zere o denominador precisa ser excluído mesmo que a desigualdade permita.
Passo 3
Fatorizo o denominador para ver onde ele é zero e também fatorizo o numerador para identificar zeros:
e o numerador é
, que zera em
.
Os pontos críticos (onde o sinal do quociente pode mudar ou onde o denominador zera) são:
Os pontos críticos (onde o sinal do quociente pode mudar ou onde o denominador zera) são:
Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos onde o sinal da fração será constante:
Passo 4
Método prático (tabela de sinais): verificamos o sinal de cada fator em cada intervalo. Os fatores são
,
e
. Vou testar um ponto simples em cada intervalo:
- No intervalo
, tomo :
O denominador
é produto de dois negativos, então é positivo. Numerador é negativo. Logo a fração
é negativo.
- No intervalo
, tomo :
O denominador é produto
de negativo por positivo, então negativo. Numerador é negativo. Portanto a fração é positiva (negativo dividido por negativo).
- No intervalo
, tomo :
Denominador é produto de negativo por positivo, então negativo. Numerador positivo. Fração negativa.
- No intervalo
, tomo :
Denominador positivo, numerador positivo, fração positiva.
Resumo dos sinais por intervalo:
Passo 5
Agora aplico as condições de existência da raiz e exclusão de zeros do denominador:
- Queremos
. Isso inclui os intervalos onde a fração é positiva e também os pontos onde a fração é zero. - A fração é positiva em
e em . - A fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. O numerador zera em
; como em temos , o valor zero é permitido. Logo pertence ao domínio. - Devemos excluir
e porque neles o denominador zera. Mesmo que em algum limite a raiz pudesse parecer bem comportada, divisão por zero veta esses pontos.
Passo 6
Combinando tudo: os
que satisfazem a desigualdade e não fazem o denominador ser zero são
Explicando em palavras: todos os números estritamente entre
e
(incluindo
mas excluindo
), e todos os números maiores que
(excluindo
).
Passo 7
Agora comparo com as alternativas fornecidas:
- (A) não bate.
- (B) não bate.
- (C) não bate.
- (D) não bate.
- (E) diz
, ou seja, exatamente e , que coincide com o que obtivemos.
Resposta
(E)