01 Marque a alternativa que explicita o domínio D da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida pela lei de formação:
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-16}}
(A) D=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1 e x \neq 4\}
(B) D=\{x \in \mathbb{R} \mid-1 \leq x \leq 4\}
(C) D=\{x \in \mathbb{R} \mid-4<x<4\}
(D) D=\{x \in \mathbb{R} \mid x<1 e x \neq-4\}
(E) D=\{x \in \mathbb{R} \mid-4<x \leq-1 e x>4\}

Passo 1

O enunciado pede para marcar a alternativa que explicita o domínio D da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-16}}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x+1}{x^{2}-16}.
  • A função está definida de \mathbb{R} em \mathbb{R} pela lei acima, então precisamos achar todos os x\in\mathbb{R} em que f(x) é um número real.
  • Na expressão aparece uma raiz quadrada e um denominador, então teremos restrições da raiz e do denominador.

Passo 2

Regras que regem a existência de f(x) como número real:
  • Para a raiz quadrada real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
\frac{x+1}{x^{2}-16} \ge 0.
Vou explicar: a raiz quadrada real de um número só existe se esse número for não-negativo. Por isso a desigualdade acima.
  • Além disso, o denominador não pode ser zero. Ou seja, devemos excluir os x tais que
x^{2}-16=0.
Vou explicar: divisão por zero não é permitida, então qualquer ponto que zere o denominador precisa ser excluído mesmo que a desigualdade permita.

Passo 3

Fatorizo o denominador para ver onde ele é zero e também fatorizo o numerador para identificar zeros:
x^{2}-16=(x-4)(x+4)
e o numerador é x+1, que zera em x=-1.
Os pontos críticos (onde o sinal do quociente pode mudar ou onde o denominador zera) são:
x=-4,\quad x=-1,\quad x=4.
Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos onde o sinal da fração será constante:
(-\infty,-4),\quad (-4,-1),\quad (-1,4),\quad (4,\infty).

Passo 4

Método prático (tabela de sinais): verificamos o sinal de cada fator em cada intervalo. Os fatores são x+1, x-4 e x+4. Vou testar um ponto simples em cada intervalo:
  • No intervalo (-\infty,-4), tomo x=-5: x+1 = -5+1 = -4 \;(<0),
x-4 = -5-4 = -9 \;(<0),
x+4 = -5+4 = -1 \;(<0).
O denominador (x-4)(x+4) é produto de dois negativos, então é positivo. Numerador é negativo. Logo a fração \dfrac{x+1}{x^{2}-16} é negativo.
  • No intervalo (-4,-1), tomo x=-2: x+1 = -2+1 = -1 \;(<0),
x-4 = -2-4 = -6 \;(<0),
x+4 = -2+4 = 2 \;(>0).
O denominador é produto (x-4)(x+4) de negativo por positivo, então negativo. Numerador é negativo. Portanto a fração é positiva (negativo dividido por negativo).
  • No intervalo (-1,4), tomo x=0: x+1 = 0+1 = 1 \;(>0),
x-4 = 0-4 = -4 \;(<0),
x+4 = 0+4 = 4 \;(>0).
Denominador é produto de negativo por positivo, então negativo. Numerador positivo. Fração negativa.
  • No intervalo (4,\infty), tomo x=5: x+1 = 5+1 = 6 \;(>0),
x-4 = 5-4 = 1 \;(>0),
x+4 = 5+4 = 9 \;(>0).
Denominador positivo, numerador positivo, fração positiva.
Resumo dos sinais por intervalo:
(-\infty,-4):\\ \text{fração negativa;}çã
(-4,-1):\\ \text{fração positiva;}çã
(-1,4):\\ \text{fração negativa;}çã
(4,\infty):\\ \text{fração positiva.}çã

Passo 5

Agora aplico as condições de existência da raiz e exclusão de zeros do denominador:
  • Queremos \dfrac{x+1}{x^{2}-16} \ge 0. Isso inclui os intervalos onde a fração é positiva e também os pontos onde a fração é zero.
  • A fração é positiva em (-4,-1) e em (4,\infty).
  • A fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. O numerador zera em x=-1; como em x=-1 temos x^{2}-16=(-1)^{2}-16=1-16=-15\neq0, o valor zero é permitido. Logo x=-1 pertence ao domínio.
  • Devemos excluir x=-4 e x=4 porque neles o denominador zera. Mesmo que em algum limite a raiz pudesse parecer bem comportada, divisão por zero veta esses pontos.

Passo 6

Combinando tudo: os x que satisfazem a desigualdade e não fazem o denominador ser zero são
(-4,-1] \cup (4,\infty).
Explicando em palavras: todos os números estritamente entre -4 e -1 (incluindo -1 mas excluindo -4), e todos os números maiores que 4 (excluindo 4).

Passo 7

Agora comparo com as alternativas fornecidas:
  • (A) não bate.
  • (B) não bate.
  • (C) não bate.
  • (D) não bate.
  • (E) diz D=\{x\in\mathbb{R}\mid -4<x\le -1\\ \text{e}\\ x>4\}, ou seja, exatamente (-4,-1] e (4,\infty), que coincide com o que obtivemos.

Resposta

(E)

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