Calcule a integral, se ela existir.
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+4 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional, ou seja, uma fração entre polinômios.
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}\, e o denominador é o polinômio \,x^{2}+4x+3\,.
  • Note que o grau do numerador ( 3) é maior ou igual ao grau do denominador ( 2), o que indica que provavelmente precisaremos dividir polinômios antes de aplicar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos começar dividindo o polinômio numerador pelo denominador para escrever a fração como soma de um polinômio mais uma fração própria (onde o grau do numerador é menor que o do denominador). Isso facilita a integração.
Execute a divisão:
\frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3} = x - 4 + \frac{13x+12}{x^{2}+4x+3}.
Explicando passo a passo a divisão (aqui mostro as contas):
x^{3}\div(x^{2}+4x+3):\quad \text{primeiro quociente }=x,\\ \\ x\cdot(x^{2}+4x+3)=x^{3}+4x^{2}+3x.
Subtraindo:
x^{3}-(x^{3}+4x^{2}+3x) = -4x^{2}-3x.
Próximo termo do quociente: -4, pois -4x^{2}\div x^{2}=-4. Multiplicando:
-4\cdot(x^{2}+4x+3)=-4x^{2}-16x-12.
Subtraindo:
(-4x^{2}-3x)-(-4x^{2}-16x-12)=13x+12.
Portanto o resto é 13x+12 e obtemos a identidade acima.
Então a integral original fica
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3}\,dx = \int (x-4)\,dx + \int \frac{13x+12}{x^{2}+4x+3}\,dx.

Passo 3

Agora tratamos a segunda integral com a fração própria. Primeiro fatoramos o denominador (isso é informação útil que podemos usar):
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{13x+12}{(x+1)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+3) obtemos
13x+12 = A(x+3)+B(x+1).
Desenvolvendo:
13x+12 = (A+B)x + (3A+B).
Comparando coeficientes dos termos em x e dos termos constantes:
\begin{cases} A+B=13,\\[4pt] 3A+B=12. \end{cases}
Subtraindo as equações:
(3A+B)-(A+B)=2A=12-13=-1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.
Então
B=13-A=13-(-\tfrac{1}{2})=13+\tfrac{1}{2}=\tfrac{27}{2}.
Portanto
\frac{13x+12}{x^{2}+4x+3} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{27}{2}\cdot\frac{1}{x+3}.]

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrete das primitivas usadas (miniaula rápida):
  • A primitiva de \,x\, é \tfrac{x^{2}}{2}, porque \frac{d}{dx}\left(\tfrac{x^{2}}{2}\right)=x.
  • A primitiva de uma constante c é c x.
  • A primitiva de \frac{1}{x+a} é \ln|x+a|, pois \frac{d}{dx}\ln|x+a|=\frac{1}{x+a}. Se há um multiplicador constante k, a primitiva é k\ln|x+a|.
Aplicando isso em cada termo:
\int (x-4)\,dx = \int x\,dx - \int 4\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 4x.
E
\int \frac{13x+12}{x^{2}+4x+3}\,dx = \int \left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{27}{2}\cdot\frac{1}{x+3}\right)\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x+1| + \frac{27}{2}\ln|x+3|.

Passo 5

Somando as primitivas obtidas e adicionando a constante de integração C, a antiderivada da função original é
\frac{x^{2}}{2} - 4x -\frac{1}{2}\ln|x+1| + \frac{27}{2}\ln|x+3| + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} - 4x -\frac{1}{2}\ln|x+1| + \frac{27}{2}\ln|x+3| + C

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