Calcule a integral, se ela existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é uma função racional, ou seja, uma fração entre polinômios.
- O numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio . - Note que o grau do numerador (
) é maior ou igual ao grau do denominador ( ), o que indica que provavelmente precisaremos dividir polinômios antes de aplicar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos começar dividindo o polinômio numerador pelo denominador para escrever a fração como soma de um polinômio mais uma fração própria (onde o grau do numerador é menor que o do denominador). Isso facilita a integração.
Execute a divisão:
Explicando passo a passo a divisão (aqui mostro as contas):
Subtraindo:
Próximo termo do quociente:
, pois
. Multiplicando:
Subtraindo:
Portanto o resto é
e obtemos a identidade acima.
Então a integral original fica
Passo 3
Agora tratamos a segunda integral com a fração própria. Primeiro fatoramos o denominador (isso é informação útil que podemos usar):
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Desenvolvendo:
Comparando coeficientes dos termos em
e dos termos constantes:
Subtraindo as equações:
Então
Portanto
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembrete das primitivas usadas (miniaula rápida):
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de uma constante
é . - A primitiva de
é , pois . Se há um multiplicador constante , a primitiva é .
Aplicando isso em cada termo:
E
Passo 5
Somando as primitivas obtidas e adicionando a constante de integração
, a antiderivada da função original é