(2,5 pontos) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y^{2}=8 x em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas \,y=x^{2}\, e \,y^{2}=8x\, em torno do eixo x.\n
Informações dadas:
  • As curvas são \,y=x^{2}\, e \,y^{2}=8x\,.\n
  • O eixo de rotação é o eixo x.\n
  • Queremos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região comum entre essas curvas.\n
    O próximo passo é achar onde as curvas se intersectam e identificar qual é a fronteira superior e inferior da região antes de montar a integral.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção das curvas resolvendo o sistema
y = x^{2}
y^{2} = 8x.
Substituindo y=x^{2} na segunda equação temos
(x^{2})^{2} = 8x,
ou seja
x^{4} - 8x = 0.
Fatorando,
x(x^{3}-8)=0.
Assim as soluções são x=0 e x^{3}=8\Rightarrow x=2. Para cada x encontramos y usando y=x^{2}:
\text{em } x=0:\; y=0,\qquad \text{em } x=2:\; y=2^{2}=4.
Portanto as curvas se intersectam em (0,0) e (2,4).

Passo 3

Precisamos saber, para 0\le x\le 2, qual curva dá a coordenada y maior (fronteira superior) e qual é a inferior. As curvas relevantes são y=x^{2} e a função positiva extraída de y^{2}=8x, ou seja y=\sqrt{8x} (tomamos a raiz positiva porque os pontos de interseção têm y\ge0).\n
Comparemos \sqrt{8x} e x^{2}. Como ambas são não-negativas em [0,2], basta olhar para a diferença dos quadrados:
(\sqrt{8x})^{2}-(x^{2})^{2}=8x-x^{4}=x(8-x^{3}).
Para 0<x<2 temos x>0 e x^{3}<8, então 8x-x^{4}>0. Logo
\sqrt{8x}>x^{2}\quad\text{para }0<x<2,
com igualdade apenas em x=0 e x=2. Portanto, para a região entre as curvas, a fronteira superior é \,y=\sqrt{8x}\, e a inferior é \,y=x^{2}\,.

Passo 4

Método para calcular o volume: ao girar a região em torno do eixo x usamos o método das cascas transversais (discos/com anel). Cortando o sólido por um plano perpendicular ao eixo x em x fixo obtemos uma secção transversal anular (lavadora) cuja área é a área do disco externo menos a área do disco interno:
\text{Área}(x)=\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big),Á
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior) e r(x) é o raio interno (distância até a curva inferior). No nosso caso:
R(x)=\sqrt{8x},\qquad r(x)=x^{2}.
O volume é a integral dessa área ao longo do intervalo de x que define a região (aqui de x=0 a x=2):
V=\int_{0}^{2}\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx.

Passo 5

Substituímos R(x) e r(x) na expressão e simplificamos:
V=\int_{0}^{2}\pi\big((\sqrt{8x})^{2}-(x^{2})^{2}\big)\,dx =\pi\int_{0}^{2}\big(8x-x^{4}\big)\,dx.
Aqui simplificamos (\sqrt{8x})^{2}=8x e (x^{2})^{2}=x^{4}.

Passo 6

Agora calculamos a integral passo a passo. Integramos termo a termo:
\int 8x\,dx = 8\cdot\frac{x^{2}}{2}=4x^{2},
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
Portanto
\int_{0}^{2}\big(8x-x^{4}\big)\,dx=\left[4x^{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}.
Avaliamo em x=2:
4\cdot 2^{2}-\frac{2^{5}}{5}=4\cdot 4-\frac{32}{5}=16-\frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum:
16-\frac{32}{5}=\frac{80-32}{5}=\frac{48}{5}.
Multiplicando por \pi obtemos o volume:
V=\pi\cdot\frac{48}{5}=\frac{48\pi}{5}.

Passo 7

Pequena checagem de consistência: o integrando \,8x-x^{4}\, é não-negativo em [0,2], a integral deu número positivo e as etapas algébricas foram simples aritméticas, então o resultado está coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{48\pi}{5}

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