(2,5 pontos) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo x .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- As curvas são
e .\n - O eixo de rotação é o eixo
.\n - Queremos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região comum entre essas curvas.\n
O próximo passo é achar onde as curvas se intersectam e identificar qual é a fronteira superior e inferior da região antes de montar a integral.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção das curvas resolvendo o sistema
Substituindo
na segunda equação temos
ou seja
Fatorando,
Assim as soluções são
e
. Para cada
encontramos
usando
:
Portanto as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Precisamos saber, para
, qual curva dá a coordenada
maior (fronteira superior) e qual é a inferior. As curvas relevantes são
e a função positiva extraída de
, ou seja
(tomamos a raiz positiva porque os pontos de interseção têm
).\n
Comparemos e
. Como ambas são não-negativas em
, basta olhar para a diferença dos quadrados:
Comparemos
Para
temos
e
, então
. Logo
com igualdade apenas em
e
. Portanto, para a região entre as curvas, a fronteira superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Método para calcular o volume: ao girar a região em torno do eixo
usamos o método das cascas transversais (discos/com anel). Cortando o sólido por um plano perpendicular ao eixo
em
fixo obtemos uma secção transversal anular (lavadora) cuja área é a área do disco externo menos a área do disco interno:
onde
é o raio externo (distância do eixo
até a curva superior) e
é o raio interno (distância até a curva inferior). No nosso caso:
O volume é a integral dessa área ao longo do intervalo de
que define a região (aqui de
a
):
Passo 5
Substituímos
e
na expressão e simplificamos:
Aqui simplificamos
e
.
Passo 6
Agora calculamos a integral passo a passo. Integramos termo a termo:
Portanto
Avaliamo em
:
Colocando em denominador comum:
Multiplicando por
obtemos o volume:
Passo 7
Pequena checagem de consistência: o integrando
é não-negativo em
, a integral deu número positivo e as etapas algébricas foram simples aritméticas, então o resultado está coerente.