01- Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que ela ficou 8 s no ar, calcule:
a) o ângulo de lançamento (com a horizontal)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Velocidade inicial: \,u=80\\ \mathrm{m/s}.
  • Tempo total no ar (tempo de voo): \,T=8\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta: calcular o ângulo de lançamento com a horizontal (ou seja, \theta).

Passo 2

Modelo físico e relação útil (explicada passo a passo).
Quando um projétil é lançado e retorna ao mesmo nível de lançamento, a componente vertical da velocidade governa o tempo total no ar. Vamos definir as variáveis:
  • \,u é a velocidade inicial (módulo).
  • \,\theta é o ângulo de lançamento que queremos encontrar.
  • \,u_y é a componente vertical da velocidade inicial: \,u_y = u\sin\theta.
  • \,g é a aceleração da gravidade (vou usar \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • \,T é o tempo total no ar.
Explicação física simples: a altura vertical y(t) evolui como
y(t)=u_y t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Como o projétil parte do nível de lançamento e volta a esse mesmo nível ao tempo t=T, tem-se y(T)=0. Substituindo,
0 = u_y T - \tfrac{1}{2} g T^2.
Isolando u_y,
u_y = \tfrac{1}{2} g T.
Mas \,u_y = u\sin\theta, logo
u\sin\theta = \tfrac{1}{2} g T.
Dessa igualdade obtém-se a fórmula que relaciona \theta com os dados:
\sin\theta = \dfrac{g T}{2u}.

Passo 3

Substituir os valores numéricos e calcular \sin\theta.
Usando \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, \,T=8\\ \mathrm{s} e \,u=80\\ \mathrm{m/s}:
\sin\theta = \dfrac{9,8\cdot 8}{2\cdot 80}.
Calcule passo a passo:
9,8\cdot 8 = 78,4, \qquad 2\cdot 80 = 160,
logo
\sin\theta = \dfrac{78,4}{160} = 0,49.
Verificação rápida: o valor está entre -1 e 1, portanto é válido.

Passo 4

Determinar \theta a partir de \sin\theta.
Aplicando a função inversa seno:
\theta = \arcsin(0,49).
Usando uma calculadora (ou tabela/série), obtém-se
\theta \approx 29,4^\circ.
Comentário prático e checagem: se, por simplicidade, adotássemos g=10\\ \mathrm{m/s^2} a conta daria \sin\theta = \dfrac{10\cdot 8}{2\cdot 80}=0,5, o que corresponderia a \theta=30^\circ. Isso mostra que o resultado \approx29{,}4^\circ é consistente e sensível a pequenas variações de g.

Resposta

29,4^\circ

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