01- Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que ela ficou 8 s no ar, calcule:
c) o alcance

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumido e claro):
  • Dado: a pedra foi lançada com velocidade inicial \,v_0 = 80\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Dado: o tempo total no ar foi \,t_{\text{tot}} = 8\\ \mathrm{s}\,.
  • Pede-se: calcular o alcance horizontal (distância horizontal percorrida) — isto é, o valor de R em metros.

Passo 2

Organizamos o movimento em componentes horizontal e vertical (ideia central do movimento projetil):
  • A velocidade inicial \,v_0\, tem duas componentes: a horizontal \,v_{0x}\, e a vertical \,v_{0y}\,.
  • Essas componentes satisfazem a relação de Pitágoras:
v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2.
  • O alcance R (supondo que a pedra retorna à mesma altura de lançamento) é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo total de voo:
R = v_{0x}\, t_{\text{tot}}.
Agora precisamos encontrar \,v_{0x}\,. Para isso vamos usar a informação do tempo de voo para obter \,v_{0y}\,.

Passo 3

Derivação da fórmula do tempo de voo em termos de \,v_{0y}\, (explicando passo a passo):
  • A equação do deslocamento vertical (tomando para cima o sentido positivo e assumindo aceleração da gravidade \,g\, constante) é
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2.
  • Se o objeto volta ao mesmo nível de onde foi lançado, em t=0 tem y(0)=0 e no instante de aterrissagem y(t_{\text{tot}})=0. Para t\neq 0 a condição y(t_{\text{tot}})=0 dá:
v_{0y}\,t_{\text{tot}} - \tfrac{1}{2} g t_{\text{tot}}^2 = 0.
  • Isolando t_{\text{tot}} (dividindo por t_{\text{tot}}\neq 0):
v_{0y} - \tfrac{1}{2} g t_{\text{tot}} = 0 \quad\Rightarrow\quad t_{\text{tot}} = \dfrac{2 v_{0y}}{g}.
  • Aqui \,g\, é a aceleração da gravidade; usaremos \,g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, (valor padrão).

Passo 4

Calcular \,v_{0y}\, a partir de \,t_{\text{tot}}\,:
  • Da fórmula anterior temos
v_{0y} = \dfrac{g\,t_{\text{tot}}}{2}.
  • Substituindo os valores ( g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e t_{\text{tot}}=8\\ \mathrm{s}):
v_{0y} = \dfrac{9{,}8\cdot 8}{2} = \dfrac{78{,}4}{2} = 39{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular \,v_{0x}\, usando v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2:
  • Isolando \,v_{0x}\,:
v_{0x} = \sqrt{v_0^2 - v_{0y}^2}.
  • Substituindo v_0=80\\ \mathrm{m/s} e v_{0y}=39{,}2\\ \mathrm{m/s}:
v_{0x} = \sqrt{80^2 - 39{,}2^2} = \sqrt{6400 - 1536{,}64} = \sqrt{4863{,}36}.
  • Calculando a raiz:
v_{0x} \approx 69{,}74\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o alcance R:
  • Usando R = v_{0x}\, t_{\text{tot}}:
R = 69{,}74 \cdot 8 = 557{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação rápida: a pedra percorre cerca de 558\\ \mathrm{m} horizontalmente antes de cair.

Passo 7

Verificação alternativa (checa rápida para aumentar confiança):
  • Podemos obter o ângulo de lançamento \theta pela razão \sin\theta = v_{0y}/v_0 = 39{,}2/80 = 0{,}49, assim \theta \approx 29{,}4^\circ.
  • Então \cos\theta \approx 0{,}872 e v_{0x}=v_0\cos\theta \approx 80\cdot 0{,}872 \approx 69{,}76\\ \mathrm{m/s}, número muito próximo do obtido antes, confirmando o cálculo.

Resposta

557{,}92\\ \mathrm{m}

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