01- Uma pedra é lançada com velocidade inicial de
. Sabendo-se que ela ficou 8 s no ar, calcule:
c) o alcance
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumido e claro):
- Dado: a pedra foi lançada com velocidade inicial
. - Dado: o tempo total no ar foi
. - Pede-se: calcular o alcance horizontal (distância horizontal percorrida) — isto é, o valor de
em metros.
Passo 2
Organizamos o movimento em componentes horizontal e vertical (ideia central do movimento projetil):
- A velocidade inicial
tem duas componentes: a horizontal e a vertical . - Essas componentes satisfazem a relação de Pitágoras:
- O alcance
(supondo que a pedra retorna à mesma altura de lançamento) é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo total de voo:
Agora precisamos encontrar
. Para isso vamos usar a informação do tempo de voo para obter
.
Passo 3
Derivação da fórmula do tempo de voo em termos de
(explicando passo a passo):
- A equação do deslocamento vertical (tomando para cima o sentido positivo e assumindo aceleração da gravidade
constante) é
- Se o objeto volta ao mesmo nível de onde foi lançado, em
tem e no instante de aterrissagem . Para a condição dá:
- Isolando
(dividindo por ):
- Aqui
é a aceleração da gravidade; usaremos (valor padrão).
Passo 4
Calcular
a partir de
:
- Da fórmula anterior temos
- Substituindo os valores (
e ):
Passo 5
Calcular
usando
:
- Isolando
:
- Substituindo
e :
- Calculando a raiz:
Passo 6
Calcular o alcance
:
- Usando
:
- Interpretação rápida: a pedra percorre cerca de
horizontalmente antes de cair.
Passo 7
Verificação alternativa (checa rápida para aumentar confiança):
- Podemos obter o ângulo de lançamento
pela razão , assim . - Então
e , número muito próximo do obtido antes, confirmando o cálculo.